第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（讲义）（解析版）

第02讲等差数列及其前n项和目录考点要求考题统计考情分析（1）理解等差数列的概念．（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．2023年甲卷（文）第5题，5分2023年I卷第7题，5分2022年上海卷第10题，5分2022年乙卷（文）第13题，5分（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为1－nnaad（常数）*()2，nNn．（2）等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有=2abA．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列{}na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是1(1)naand．（2）等差数列的前n项和公式设等差数列{}na的公差为d，其前n项和11()(1)22nnnaannSnad．知识点三．等差数列的常用性质已知{}na为等差数列，d为公差，nS为该数列的前n项和．（1）通项公式的推广：*())(，nmaanmdnmN．（2）在等差数列{}na中，当mnpq时，*()，，，mnpqaaaamnpqN．特别地，若2mnt，则*()2，，mntaaamntN．（3）2＋＋，，kkmkmaaa，…仍是等差数列，公差为*()，mdkmN．（4）232，－，－nnnnnSSSSS，…也成等差数列，公差为2nd．（5）若{}na，{}nb是等差数列，则{}nnpaqb也是等差数列．（6）若{}na是等差数列，则{}nSn也成等差数列，其首项与{}na首项相同，公差是{}na公差的12．（7）若项数为偶数2n，则2121()()nnnnSnaanaa；奇偶－＝SSnd；1奇偶nnSaSa．（8）若项数为奇数21n，则2121()－nnSna；奇偶=－nSSa；1奇偶SnSn．（9）在等差数列{}na中，若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最大值mS；若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最小值mS．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系21()22nddSnan．数列{}na是等差数列⇔2nSAnBn（、AB为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差0{}nda为递增等差数列，nS有最小值；公差0{}nda为递减等差数列，nS有最大值；公差0{}nda为常数列．特别地若100ad，则nS有最大值（所有正项或非负项之和）；若100ad，则nS有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列{}na，公差为d，前n项和为nS，则：①等间距抽取2(1),,,,pptptpntaaaa为等差数列，公差为td．②等长度截取232,,,mmmmmSSSSS为等差数列，公差为2md．③算术平均值312,,,123SSS为等差数列，公差为2d．【解题方法总结】（1）等差数列{}na中，若,(,,)nmamanmnmnN，则0mna．（2）等差数列{}na中，若,(,,)nmSmSnmnmnN，则()mnSmn．（3）等差数列{}na中，若(,,)nmSSmnmnN，则0mnS．（4）若{}na与{b}n为等差数列，且前n项和为nS与nT，则2121mmmmaSbT．题型一：等差数列的基本量运算例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列na满足：11a，且满足*1(N)nnaann，则2023a（）A．1012B．1013C．2022D．2023【答案】A【解析】因为1nnaan，所以121nnaan，两式相减，得：21nnaa，所以数列na中的奇数项是以11a为首项，1为公差的等差数列，所以20231110111012a.故选：A.例2．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和是376,1,3nSaSa，则3S（）A．1B．1C．3D．3【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为d，则3121aad，117673(5)2adad，解得13a，2d，所以31333Sad．故选：D.例3．（2023·四川凉山·三模）在等差数列na中，242aa，53a，则9a（）．A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】由题设24322aaa，则31a，而53a，若等差数列公差为d，则5312aad，所以，na通项公式为3(3)2naandn，故97a.故选：C变式1．（2023·江西新余·统考二模）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若23aS，134aaS，则数列na的公差为（）A．2B．1C．2D．4【答案】A【解析】由23aS可得：1133adad①，由134aaS可得：11143242aadad②，由①②可得：2d或0d(舍去).故选：A.变式2．（2023·广西·统考模拟预测）设na为等差数列，若31421,5aaa，则公差d（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】由题意得1132135adad解得112ad，故选：D.变式3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）记nS为等差数列na的前n项和，若3531,8Saaa，则7a（）A．30B．28C．26D．13【答案】C【解析】设等差数列na的首项为1a，公差为d，则11113234228adadada，12a，4d，所以71626aad.故选：C【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d或项数n．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．1a和d是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为1,23nnnSSna，且11a.(1)求证：数列nan是等差数列；(2)求数列1na的前n项和nT.【解析】（1）数列na中，3(2)nnSna，当2n时，113(1)nnSna，两式相减得13(2)(1)nnnanana，即1(1)(1)nnnana，则111nnaann，于是1(1)(1)nnaannnn，因此数列{}(1)nann是常数列，则11(1)212naann，从而(1)2nnna，即111,212nnnaaannnn，所以数列nan是以1为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知，1211211nannnn，所以121111111122[(1)()()]22311nnnTaaannn.例5．（2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记nS为数列{}na的前n项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{}na是等差数列；①数列nSn是等差数列；②*12nnnaSnN(2)若数列{}na为等差数列，且11a，35a，求数列(2)nnnS的前n项和nT．【解析】（1）选择条件①：*12nnnaSnN，112,211nnnnSnanSnan，两式相减可得11211nnnanana，即111nnnana，1211nnnana，两式相减可得12111nnnnnananana，化简可得122nnnnanaa，122nnnaaa，数列{}na是等差数列．选择条件②：设数列nSn的首项为1b，公差为p，则11(1)nSbnpnpbpn，故21nSpnbpn，当2n时，1nnnaSS221111pnbpnpnbpn121bnp，当1n时，111aSb，121nabnp，又11122(1)2nnaabnpbnpp．数列{}na是等差数列．（2）数列{}na是等差数列，且公差3122aad，21(1)(1)222nnnnnSnadnn．11112222nnnSnnnn，故1111111111112322423522nTnn1111111112324352nn1111(1)2212nn3111323()421242(1)(2)nnnnn．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足123a，*1223nnnaanaN．(1)证明：11na是等差数列，并求出na的通项na．(2)证明：12311naaaan．【解析】（1）由1223nnnaaa，可得11123nnnaaa，∴1221111113211nnnnnnaaaaaa，即111211nnaa，∵123a，即1131a，∴11na是以3为首项，2为公差的等差数列，∴1211nna，即221nnan．（2）令1232423521nnnTaaaan①，∵2212122nnnn，∴35214622nnTn②，①×②得221221nTnn，∴11nTn，即12311naaaan．变式4．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列na满足，11,21,N2,2nnnankakank，1=1a.(1)若数列nb为数列na的奇数项组成的数列，证明：数列nb为等差数列；(2)求数列na的前50项和.【解析】（1）由题，1212212121211nnnnnnbaaaab，且111ba，所以数列nb是首项为1，公差为1的等差数列；（2）设nc为数列na的偶数项组成的数列，注意到12112caa，122212212111nnnnnncaaaac，所以数列nc是首项为2，公差为1的等差数列，结合(1)可知，na的奇数项和偶数项都是以1为公差的等差数列，所以501235013492450........+....Saaaaaaaaaa252425241251225152522.变式5．（2023·全国·高三