第04讲 数列的通项公式（练习）（原卷版）

第04讲数列的通项公式（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列na的前n项和为nS，满足21nnnSaa，则2023a（）A．2022B．2023C．2024D．20252．（2023·北京朝阳·二模）已知数列na的前n项和是21n，则5a（）A．9B．16C．31D．333．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，3，5，7，3，11，…，21n，…，则7是这个数列的（）A．第21项B．第23项C．第25项D．第27项4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，若12a，132nnnSSa，20S（）A．2032B．21320C．2034322D．21343225．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列na，则（）A．616aB．1066aC．122nnnaaaD．202320222023aa6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，若满足43nnSa，则nS（）A．2415nB．2413nC．4313nD．431n7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知nS是各项均为正数的数列na的前n项和，1122nnnSaS，3564aa，若2650nnaS对N*n恒成立，则实数的最大值为（）A．82B．16C．162D．328．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列na中，12211,9,3210nnnaaaaa，则na的前n项和nS的最大值为（）A．64B．53C．42D．259．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列na的通项公式为31,22,nnnann为奇数为偶数，则下列正确的是（）A．619aB．76aaC．522SD．68SS10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有na个球，从上往下n层球的球的总数为nS，则（）A．11(2)nnaannB．784SC．9898992aD．1232022111140442023aaaa11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列na的前n项和为0nnSS，且满足1402nnnaSSn，114a，则下列说法正确的是（）A．数列na的前n项和为4nSnB．数列na的通项公式为141nannC．数列na不是递增数列D．数列1nS为递增数列12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设nS是数列na的前n项和．下面几个条件中，能推出na是等差数列的为（）A．当*Nn时，nnSaB．当*Nn时，nnSnaC．当*Nn时，1nnnSaaD．当*Nn时，12nnnSa13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列na的前n项和为nS，且2nSnna，则“0a”是“3242aaa”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）14．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列na满足112nnnana，11a，则数列na的通项公式为．15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列na满足1321214333nnnaaaa，则数列na的通项公式为.16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列na的前n项和nS满足21nnSa，则na．17．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若数列na的前n项的和为32*NnSanbnn，且10a，24a(1)求数列na的通项公式；(2)求20231182nnan的值.18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列na中，112,1nnaaan(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnba，数列nb的前n项和为nT，证明2nT.19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，14a且*14NnnaSn.(1)求数列na的通项公式;(2)若1221(1)lognnnnbna，求数列nb的前n项和nT.20．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列na对任意的*Nn，211nnnnaaaa，则称na为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列na的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列na为“速增数列”，且任意项Zna，11a，23a，2023ka，求正整数k的最大值.21．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，且满足22nnSa，数列nbn是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列,nnab的通项公式；(2)设数列nnnabcn，求出数列nc的前n项和nT．22．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS.(1)若12S，122nnSS，证明：12nnSa；(2)在（1）的条件下，若2lognnba，数列nb的前n项和为nT，求证12311112nTTTT1．（2023•新高考Ⅱ）已知{}na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT为{}na，{}nb的前n项和，432S，316T．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：当5n时，nnTS．2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，且1d．令2nnnnba，记nS，nT分别为数列{}na，{}nb的前n项和．（1）若21333aaa，3321ST，求{}na的通项公式；（2）若{}nb为等差数列，且999999ST，求d．3．（2023•全国）已知{}na为等比数列，其前n项和为nS，321S，6189S．（1）求{}na的通项公式；（2）若(1)nnnba，求{}nb的前n项和nT．4．（2022•新高考Ⅰ）记nS为数列{}na的前n项和，已知11a，{}nnSa是公差为13的等差数列．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：121112naaa．5．（2022•天津）设{}na是等差数列，{}nb是等比数列，且1122331ababab．（1）求{}na与{}nb的通项公式；（2）设{}na的前n项和为nS，求证：1111()nnnnnnnSabSbSb；6．（2021•乙卷）设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab，已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为{}na和{}nb的前n项和．证明：2nnST．7．（2021•新高考Ⅱ）记nS是公差不为0的等差数列{}na的前n项和，若35aS，244aaS．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na；（Ⅱ）求使nnSa成立的n的最小值．8．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{}na满足11a，11,,2,nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列{}nb的通项公式；（2）求{}na的前20项和．9．（2021•乙卷）记nS为数列{}na的前n项和，nb为数列{}nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列{}nb是等差数列；（2）求{}na的通项公式．10．（2021•浙江）已知数列{}na的前n项和为nS，194a，且*1439()nnSSnN．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb满足*3(4)0()nnbnanN，记{}nb的前n项和为nT，若nnTb„对任意*nN恒成立，求实数的取值范围．11．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列{}na满足2420aa，38a．（1）求{}na的通项公式；（2）求112231(1)nnnaaaaaa．