第05讲 数列求和（练习）（解析版）

第05讲数列求和（模拟精练+真题演练）1．（2023·福建宁德·校考二模）已知nS是数列na的前n项和，12a，23a，34a，数列12nnnaaa是公差为1的等差数列，则40S（）A．366B．367C．368D．369【答案】A【解析】设12nnnnbaaa，由题意{}nb是公差为1的等差数列，则11239baaa，故9(1)18nbnn，则21110bb，故253813(238)(28)(58)(388)1383642bbb于是40123456738394012538()()()Saaaaaaaaaaabbb2364366.故选：A2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，L，即*12121,3,nnnaaaaannN，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列nb，则1232023bbbb的值为（）．A．2696B．2697C．2698D．2700【答案】B【解析】由题意得：数列nb为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以12320222023bbbbb12362023337bbbbb13378b269612697，故选：B3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，3212SSS，535S，则12233410111111aaaaaaaa（）A．1031B．1021C．3031D．2021【答案】A【解析】设等差数列na的公差为d，因为535S，所以531725Saad…①，又3212SSS，即212322aaa，21114,3aaadda，代入①，解得11a，3d，则1132naandn，所以12233410111111111114477102831aaaaaaaa1111111013447283131；故选：A.4．（2023·江西南昌·统考三模）已知nN，将数列{21}n与数列21n的公共项从小到大排列得到新数列na，则1210111aaa（）A．919B．1021C．1123D．1225【答案】B【解析】若数列{21}n与数列21n的公共项，则设2211,mmnnN，即22,mmnnN，因为2nnN为偶数，所以mmN也为偶数，所以令数列{21}n与数列21n的公共项为：222141nannnN，所以211141212121121112nnnnnan，所以12101111111111112335571921aaa1112010122122121，故选：B.5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第n个正方形的面积为na，则202321cos(π)lognnna（）A．1011B．1011C．1012D．1012【答案】B【解析】第一个正方形的边长为11b，面积为2111ab，第二个正方形的边长为2112222bbb=，面积为22222111222abbba，第三个正方形的边长为3222222bbb=，面积为22233222222abbba，……,进而可知：na是以公比为2，首项为1的等比数列，所以11222loglo2,g1nnnnaan，由于1cosπ1,nnn，为偶数为奇数,所以20232023211cosπlogcosπ101234520212022nnnnann202310123420212022110112，故选：B6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列na满足各项均为正数，*24*,21,N2,6,,2,Nnnnnkkaabankk，数列nb的前n项和为nT，则*221NmmTmT的取值范围为（）A．2,3B．2,3C．0,3D．0,3【答案】A【解析】等比数列na满足各项均为正数，242,6aa，则na的公比为423aa，22(3)nna，224213521mmTmaaa222313131mmmm，21122122312331mmmmmmTTamm，2211,3mmTmT；2212,2mmTmT，当3m时，2221121221221312333313111mmmmmmmTmTmmm，令123()11mfmm，1212122223l13l13()n32n3211mmmmmmmfmmm，令2()ln321gmmm，1()2ln3gmm，当3m时，()0gm，即()fm为增函数，故96()(3)06l48n3fmf，即当3m时，()fm为增函数，故17()(3)8fmf，则221mmTT单调递增，2213517mmTT，m时2213mmTT，综上，则*221NmmTmT的取值范围为2,3.故选：A.7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列na，nb，12a，21a，11211nnnnnnnnnaaaaaaaaa，11nnb，nS是数列nnab的前n项和，则1000S（）A．656B．660C．672D．674【答案】D【解析】由题意知数列nb是一个周期为2的数列.穷举法找规律，n1234567na2134132nb0202020nnab0208060n8910111213Lna110110nb202020nnab200020易发现nnab从第8项开始，每6项重复出现，故只需要分段计算即可.8899997997,,,ababab，共165个分段，每段的和为4，9989991aa，10000a，99810002bb，9990b，所以998998999999100010002ababab，故100028616542674S.故选：D.8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列na，且11a，数列1na的前n项和为nS，则正确的选项是（）．A．412aB．11nnaanC．21nnSnD．1004950a【答案】BC【解析】由题意可知：21322,3aaaa，于是有4314,2,Nnnaaaannn，显然可得：43410aa，11nnaan，因此选项A不正确，选项B正确；当2,Nnn时，1n122111112nnnnnnaaaaaaaann，显然11a适合上式，10010010150502a，因此选项D不正确；11112112nnnann，11111122121223111nnSnnnn，因此选项C正确，故选：BC9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割510.6182，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为na，则下列结论正确的有（）A．2022202411kkaaB．10112202411kkaaC．20222202220231kkaaaD．221211()nnnnnnaaaaaa【答案】ACD【解析】因为21nnnaaa，所以21nnnaaa，所以202232432024202320242202411kkaaaaaaaaaa故A正确；因为21nnnaaa，所以21221kkkaaa，即22121kkkaaa，所以1011231532023202120231202311kkaaaaaaaaaa，而20242023aa，故B错误；21111()(2)kkkkkkkkaaaaaaaak，所以2022202221123123423202220232021202220222023121()1kkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaa故C正确；222212111111()()nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa，故D正确答案：ACD.10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列na中，已知其前n项和为9,81nSS，且2514,,aaa等比数列，则下列结论正确的是（）A．21nanB．1210012100111100aaaC．2nSnD．设数列12nna的前n项和为nT，则122nnTn【答案】BC【解析】对于A，设等差数列na的公差为d，由9,81nSS得1989812ad，①由2514,,aaa等比数列得25214aaa，2111413adadad，②由①②解得2d，11a，所以21nan，故A错误；对于B，1210012100111135791113199aaa1357911197199222250100，故B正确；对于C，2121·2nnSnn，故C正确；对于D，12221nnnan，所以所以1231325272212212nnnTnn，①23412325272212212nnnTnn，②①②得，123132222