第六章 数列（测试）（解析版）

第六章数列（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正项等比数列na，若355664,28aaaa，则2a（）A．16B．32C．48D．64【答案】B【解析】根据等比中项，235464aaa，又na是正项数列，故48a（负值舍去）设等比数列na的公比为q，由5628aa，即24428aqaq，解得12q（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232aaq故选：B2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为129,,aaa，由题意可得1237890.5,2.5aaaaaa，所以282828530.5,32.51,0.52aaaaaaa，故选：B3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列na中，已知10a，且817SS，则当nS取最大值时，n（）A．10B．11C．12或13D．13【答案】C【解析】因为在等差数列na中，1780SS所以91011121314151617aaaaaaaaa917aa101611151214131390aaaaaaaa，所以130a，又因为10a，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当nS取最大值时，12n或13．故选：C．4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列na中，12a，15nnaa，则数列na前11项的和11S（）A．22B．27C．28D．55【答案】B【解析】依题意12a，15nnaa，则125nnaa，两式相减得到2nnaa，又2153aa，所以数列的奇数项都等于2，偶数项都等于3，所以11523227S，故选：B．5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{na}满足：*111,NnnaSan，则2022S（）A．20202B．20212C．20222D．20232【答案】B【解析】由题意，1nnnSSS，即12nnSS，又11S，故nS是以1为首项，2为公比的等比数列，故11122nnnS，故202120222S.故选：B6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列na的通项*21Nnann，如果把数列na的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为nb，再把数列nb的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为nc，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为nP，则数列nP前10项的和为（）A．1013B．1023C．2036D．2050【答案】C【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列na的第1248,,,,aaaa即得到的数列nP的第n项为数列na的第12n项，因为*21Nnann，可得21nnP，所以2101210222102036PPP.故选：C.7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知2,21,,nnnnananban为偶数为奇数若数列nb的前n项和为nS，则2nS（）A．23nnB．2434nnC．232nnD．223nn【答案】D【解析】易知2122123452222nnnSbbbaaaaaa1234212242nnnaaaaaaaaa2223741n212341232nnnnn．故选：D．8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列na满足1sin0π2nnnaa＜，且数列na的前n项积为nT，则下列结论错误的是（）A．若π2，则1001TB．若π6，则1916aaC．存在及正整数k，使得2121kkaa＞D．若na为等比数列，则41sina【答案】C【解析】对于A，若π2，则11πsin2nnnaa，所以5010012349910011Taaaaaa，故A正确；对于B，若π6，则1π1sin62nnnnaa，所以11212nnnaa，两式相除得212nnaa，所以41911216aaa，故B正确；对于C，因为1sinnnnaa，所以112sinnnnaa，所以2sin1nnaa，又因为数列na各项均为正数，所以2nnaa，即2121kkaa，故不存在及正整数k，使得2121kkaa＞，故C错误；对于D，若na为等比数列，设其公比为0qq＞，则2121111sinnnnnnnaaaaqaqqq，所以2121sinaqq，则41sina，故D正确.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知na为等差数列，前n项和为nS，110a，公差d=−2，则（）A．4S=7SB．当n=6或7时，nS取得最小值C．数列na的前10项和为50D．当n≤2023时，na与数列310m（mN）共有671项互为相反数．【答案】AC【解析】对于A，等差数列{}na中，110a，公差2d，则1(1)212naandn，74567630SSaaaa，故A正确；对于B，由A的结论，212nan，则60a，由d=−2当6n时，0na，60a，当6n时，0na，则当5n或6时，nS取得最大值，且其最大值为(100)6302，B错误；对于C,12101267891062468302050aaaaaaaaaaS,故C正确，对于D，由2023n≤，则20234034naa，则数列{}na中与数列{310}m中的项互为相反数的项依次为：16，22，28，，4030，可以组成以16为首项，6为公差的等差数列，设该数列为{}nc，则106ncn，若1064030ncn，解可得670n，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．10．（2023·重庆·统考三模）对于数列na，若11a，*12nnaannN，则下列说法正确的是（）A．43aB．数列na是等差数列C．数列21na是等差数列D．221nan【答案】ACD【解析】由*12nnaannN，11a，得2121aa，3243aa，4363aa，所以A选项正确；又12nnaan，1221nnaan，两式相减得22nnaa，令21nn，可得21212nnaa，所以na不是等差数列，21na是等差数列，故B选项错误，C正确；同理，令2nn，则2222nnaa，所以2na是以21a为首项，公差为2的等差数列，所以211221nann，故D正确.故选：ACD11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款0A元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为r，设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是（）A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法C．小明第一个月还款的现值为1xr元D．12012111Arrxr【答案】BCD【解析】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确；C选项，设小明第一个月还款的现值为M，则1Mrx，解得1xMr，故C正确；D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为101AArx，第二个月末所欠银行贷款为2210111AArxArxrx，第三个月末所欠银行贷款为323201111AArxArxrxrx，……第12个月末所欠银行贷款为1211101201111AArxrxrxrx121110011111Arxrrr121212120011111111xrxrArArrr，由于分12次还清所有的欠款，故121201110xrArr，解得12012111Arrxr，D正确.故选：BCD12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2;；第n次得到数列1231,,,,,,2;kxxxx记1212nkaxxx，数列na的前n项为nS，则（）A．21nkB．4331aaC．3312nnaD．33234nnSn【答案】AC【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k第n次得到数列1，123,,,,kxxxx，2此时21nk，故A项正确；结合A项中列出的数列可得：123433339339273392781aaaa123333(N*)nnan用等比数列求和可得33132nna则121331333322nnna23322n又3313333392nna22393332222nn所以133nnaa，则4333aa，故B项错误；由B项分析可知331333122nnna，故C项正确.123nnSaaaa23133332222nn231331322nn2339424nn133234nn，故D项错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列na满足：4628102aaaa，，则4611aa.【答案】5【解析】因为等比数列的性质可得2846aaaa,即得464646462811105,2aaaaaaaaaa可得46115a