重难点突破01 数列的综合应用 （十三大题型）（原卷版）

重难点突破01数列的综合应用目录1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键2、新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．4、数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．利用等价转化思想将其转化为最值问题.()aFn恒成立max()aFn；()aFn恒成立min()aFn.5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．（1）数列实际应用中的常见模型①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项na与第1n项1na的递推关系还是前n项和nS与前1n项和1nS之间的递推关系．在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．（2）解决数列实际应用题的3个关键点①根据题意，正确确定数列模型；②利用数列知识准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义．6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.放缩法证不等式的理论依据是：,ABBCAC；,ABBCAC.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用例1．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数0a，按照上述规则实施第n次运算的结果为Nnan，若51a，且1,2,3,4iai均不为1，则0a（）A．5或16B．5或32C．5或16或4D．5或32或4例2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则使得22nan成立的n的最小值是（）A．3B．4C．5D．6例3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（）A．561B．595C．630D．666变式1．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB等分为线段,,ACCDDB，如图2.以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段AB的长度为1，则图3中曲线的长度为（）A．2B．169C．6427D．3变式2．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为12n，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（）A．959B．964C．1003D．1004变式3．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列na本身不是等差数列，但从na数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nb（则称数列na为一阶等差数列），或者nb仍旧不是等差数列，但从nb数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列nc（则称数列na为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）．A．82B．152C．212D．282【解题方法总结】（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键（2）解答数列应用题需过好“四关”题型二：数列中的新定义问题例4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列na的通项*21Nnann，如果把数列na的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为nb，再把数列nb的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为nc，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为nP，则数列nP前10项的和为（）A．1013B．1023C．2036D．2050例5．（2023·人大附中校考三模）已知数列na满足：对任意的Nn，总存在Nm，使得nmSa，则称na为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（）①若2023nan，则na为“回旋数列”；②设na为等比数列，且公比q为有理数，则na为“回旋数列”；③设na为等差数列，当11a，0d时，若na为“回旋数列”，则1d；④若na为“回旋数列”，则对任意Nn，总存在Nm，使得nmaS．A．1B．2C．3D．4例6．（2023·湖北武汉·统考三模）将1,2,,n按照某种顺序排成一列得到数列na，对任意1ijn，如果ijaa，那么称数对,ijaa构成数列na的一个逆序对.若4n，则恰有2个逆序对的数列na的个数为（）A．4B．5C．6D．7变式4．（2023·全国·高三专题练习）记数列na的前n项和为nS，若存在实数0M，使得对任意的*nN，都有nSM，则称数列na为“和有界数列”．下列命题正确的是（）A．若na是等差数列，且首项10a，则na是“和有界数列”B．若na是等差数列，且公差0d，则na是“和有界数列”C．若na是等比数列，且公比1q，则na是“和有界数列”D．若na是等比数列，且na是“和有界数列”，则na的公比1q变式5．（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用na表示斐波那契数列的第n项，则数列na满足：12211,nnnaaaaa.，记121niniaaaa，则下列结论不正确的是（）A．1055aB．223(3)nnnaaanC．201920211iiaaD．20212202120221iiaaa变式6．（2023·河北·统考模拟预测）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列na，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（）A．173B．171C．155D．151【解题方法总结】（1）新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．（2）新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．题型三：数列与函数、不等式的综合问题例7．（2023·重庆巴南·统考一模）已知等比数列na满足：1220aa，2380aa.数列nb满足2lognnbanN，其前n项和为nS，若8nnbS恒成立，则的最小值为.例8．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）设数列na的前n项和为3,4nSa，且1111nnaan，若212nnSka恒成立，则k的最大值是.例9．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列na满足18a，14nnaan，则nan的最小值为．变式7．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知数列na满足120232020a，且对于任意的正整数n，都有111nnnaaa．若正整数k使得11niika对任意的正整数成立，则整数k的最小值为．【解题方法总结】（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．（2）数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．利用等价转化思想将其转化为最值问题.()aFn恒成立max()aFn；()aFn恒成立min()aFn.题型四：数列在实际问题中的应用例10．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量nS（万件）近似地满足关系式22151,2,,1290nnSnnn，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是.例11．（2023·高三课时练习）某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要万元.例12．（2023·全国·高三专题练习）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第天收入达到最高.变式8．（2023·全国·高三专题练习）