第02讲 排列、组合（十九大题型）（讲义）（解析版）

第02讲排列、组合目录考点要求考题统计考情分析（1）理解排列、组合的概念．（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．（3）能利用排列组合解决简单的实际问题．2023年乙卷（理）第7题，5分2023年甲卷（理）第9题，5分2023年II卷第3题，5分2023年I卷第13题，5分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，也是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5分．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．知识点1、排列与排列数（1）定义：从n个不同元素中取出mmn个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示．（2）排列数的公式：!121!mnnAnnnnmnm．特例：当mn时，!12321mnAnnnn；规定：0!1．（3）排列数的性质：①11mmnnAnA；②111mmmnnnnAAAnmnm；③111mmmnnnAmAA．（4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，A11mnnnnm常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A()!mnnnm．知识点2、组合与组合数（1）定义：从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示．（2）组合数公式及其推导求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数mnA；根据分步计数原理，得到mmmnnmACA；因此121!mmnnmmnnnnmACAm．这里n，mN，且mn，这个公式叫做组合数公式．因为!!mnnAnm，所以组合数公式还可表示为：!!!mnnCmnm．特例：01nnnCC．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C!mnnnnnmm常用于具体数字计算，!C!()!mnnmnm常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①mnmnnCC；②11mmmnnnCCC．（4）组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型②“至少”或“最多”含有几个元素的题型知识点3、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．【解题方法总结】1、如图，在圆中，将圆分n等份得到n个区域1M，2M，3M，，(2)nMn…，现取(2)kk…种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)nnkk种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inniDnn3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11nknkA种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有kkA种排法．根......Mn...Mn-1M1M2M3据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11nknkkkAA种．6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻（1knk），求不同排法种数的方法是：先将（nk）个元素排成一排，共有nknkA种排法；然后把k个元素插入1nk个空隙中，共有1knkA种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有nknkA·1knkA种．题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算例1．（2023·全国·高三专题练习）若2121212xxCC，则实数x的值为（）A．1B．3C．1或3D．0【答案】C【解析】因为2121212xxCC，所以212xx或21212xx，解得1x或3x，故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）222223418CCCC（）A．318CB．319CC．318C1D．319C1【答案】B【解析】22222234518CCCCC32222334518=CCCCC322244518=CCCC3225518=CCC321818=CC319=C.故选：B.例3．（2023·甘肃兰州·统考一模）2A90n，则n等于．【答案】10【解析】因为2A190nnn，解得10n或9n，且2n，所以10n.故答案为：10.变式1．（2023·全国·高三专题练习）215103131AAAA【答案】107/317【解析】215103131AA201010AA617.故答案为：107.变式2．（2023·全国·高三专题练习）10871087A89A8A．【答案】0【解析】10871087A89A8A10!898!8!8!8!0.故答案为：0.变式3．（2023·高三课时练习）已知233AC0!4m，则m.【答案】2或3【解析】233AC0!4m，3A6m，又323216，所以2m或3m.故答案为：2或3.变式4．（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）若36421818CCnn，则9Cn【答案】36【解析】由组合数的性质可得36184218nn，解得4n，又因为36421818CCnn，所以3642nn或364218nn，解得8n（舍去）或2n，所以2998C3621，故答案为：36变式5．（2023·全国·高三对口高考）计算383321CCnnnn的值为.【答案】466【解析】依题意，38321nnn，解得192122n，而Nn，于是得10n，所以，原式283021303130313029=CCCC3146621.故答案为：466题型二：直接法例4．（2023·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）A．360B．480C．600D．720【答案】B【解析】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有66A720种不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有33A6种不同的排法，其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为47204806种.故选：B.例5．（2023·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（）A．311311AAB．3113112AAC．347347AAAD．3473472AAA【答案】B【解析】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有332A种排法，将剩余的11名队员全排列共有1111A，由分步乘法计数原理可得总的站法有3113112AA，故选:B.例6．（2023·全国·高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解析】不妨记五名志愿者为,,,,abcde，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A12种方法，同理：,,,bcde连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260种.故选：B.变式6．（2023·全国·高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）A．24B．72C．144D．288【答案】D【解析】数学课排在前3节，英语课不排在第6节，∴先排数学课有13C种排法，再排最后一节有14C种排法，剩余的有44A种排法，∴根据分步计数原理知，共有114344CCA3424288种排法．故选：D．变式7．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到A，B，C，D，E这五个不同地区执行任务，要求A地只能派男司机，E地只能派女司机，则不同的方案种数是（）A．360B．720C．1080D．2160【答案】D【解析】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有3254CC种方法，第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去A地，派一名女司机去E地，共有1132CC种方法，第三步，剩下3名司机随机去B，C，D三地，共有33A种方法，故不同方案种数为3211354323CCCCA2160，故选：D变式8．（2023·全国·高三对口高考）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（）A．24B．48C．54D．