第05讲 古典概型与概率的基本性质（练习）（解析版）

第05讲古典概型与概率的基本性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）某同学口袋中共有5个大小相同､质地均匀的小球.其中3个编号为5，2个编号为10，现从中取出3个小球，编号之和恰为20的概率为（）A．115B．415C．815D．35【答案】D【解析】编号之和恰为20,则需要3个球中2个编号为5,1个编号为10，设3个编号为5的小球为ABC，2个编号为10的小球为ab，则从5个球中取出3个，共有：,,,,,,,,,ABCABaABbACaACbAabBCaBCbBabCab，共10种，其中满足题意得情况有：,,,,,,ABaABbACaACbBCaBCb共6种，则编号之和恰为20的概率为63105P.故选:D.2．（2023·河南·校联考模拟预测）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则平面直角坐标系xOy中，点,xy到原点O的距离不大于4的概率为（）A．16B．736C．29D．14【答案】C【解析】基本事件共有36个，而满足点(,)xy到原点O的距离不大于4的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，所求概率为82369．故选:C．3．（2023·四川南充·模拟预测）,,,,ABCDE五名学生按任意次序站成一排，则A和B站两端的概率为（）A．120B．110C．15D．25【答案】B【解析】首先将A和B排两端，共有22A种情况，再将其余三人全排列，共有33A种情况，所以共有2323AA23212种情况.因为五名学生按任意次序站成一排，共有55A54321120种情况，故A和B站两端的概率为12112010.故选：B4．（2023·四川南充·模拟预测）同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为（）A．121B．112C．111D．221【答案】B【解析】依题意，同时抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，基本事件有：1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共36种，两颗骰子出现的点数之和为4的事件包含的基本事件有：1,3,(2,2),(3,1)，共3个，所以两颗骰子出现的点数之和为4的概率是313612P==．故选：B5．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行服务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为（）A．12B．13C．14D．16【答案】B【解析】将四人分成两人两组共有224222CC3A种，再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有223A6种，又甲、乙安排在一起共有222222CCA2种，所以甲、乙安排在一起的概率为2163P，故选：B.6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）从1，2，3，4，5中任取两个不相同的数，则这两个数的和为质数的概率为（）A．15B．12C．35D．23【答案】B【解析】从五个数字中任取两个不相同的数，基本事件共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，其中和为质数的事件有（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），共5个，所以12P．故选：B．7．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得2p是素数，素数对,2pp称为孪生素数．在不超过26的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）A．118B．445C．19D．17【答案】C【解析】不超过26的所有素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23，共9个．在不超过26的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的有4个，即3,5、5,7、11,13、17,19，所求概率是2941C9p．故选：C．8．（2023·江西景德镇·统考三模）写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算8961，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429，若从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字，这个数字大于5的概率为（）A．14B．38C．12D．58【答案】B【解析】表内的8个数字分别为4，8，5，4，0，8，0，9，其中大于5的有8，8，9，从表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字有8种取法，这个数字大于5的情况有3种取法，这个数字大于5的概率为38P．故选：B．9．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则函数3213fxxaxbxc没有极值点的概率为（）A．14B．518C．1136D．13【答案】A【解析】22fxxaxb，若fx没有极值点，则2Δ440ab，即2ab．由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足2ab的有1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,4，2,5，2,6，共有9个，所以91364P．故选：A.10．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（）A．12B．310C．35D．25【答案】D【解析】由题意设2个红球分别用12,AA表示，2个黑球分别用12,BB表示，1个白球用1C表示，则取出的三个球的组合有以下10种情形：121,,AAB、122,,AAB、211,,AAC、112,,ABB、111,,ABC、121,,ABC、212,,ABB、211,,ABC、221,,ABC、121,,BBC，其中符号条件的有以下四种情形：111,,ABC、121,,ABC、211,,ABC、221,,ABC.因此从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为42105P.故选：D.11．（多选题）（2023·吉林白山·统考二模）将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（）．A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件C．甲得到A卡片的概率为14D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为12【答案】BCD【解析】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．甲得到A卡片的概率为3344A1A4，C正确．乙2人中有人得到A卡片的概率为132344CA1A2，D正确．故选：BCD12．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是15；B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则2EX；C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为1927.【答案】AD【解析】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是124236CC41C205=,故A正确，对于B,从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即226,,6433XBEX，故B错误，对于C,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为35，故C错误，对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为13，没有取到白球的概率为23，所以取球3次没有取到白球的概率为328327，.所以至少有一次取到白球的概率为81912727，故D正确，故选：AD13．（多选题）（2023·吉林长春·统考模拟预测）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（）．A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是3435B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是715C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是4750D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为1925【答案】ACD【解析】甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则甲批有1580%12粒发芽，乙批有1070%7粒发芽.A：从甲批种子任取2粒，至少1粒能发芽的概率为23215C34135CP，故A正确；B：从乙批种子任取2粒，至多1粒能发芽的概率为211337221010CCC815CCP，故B错误；C：从甲、乙批两种种子中各取1粒，至少1粒能发芽的概率为1133111510CC47150CCP，故C正确；D：将两批种子混合后，随机抽取1粒能发芽的概率为11712112525CC1925CCP，故D正确.故选：ACD.14．（多选题）（2023·全国·校联考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物､动物等图案一千余种.下列说法正确的是（）A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为1:2:2B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为17C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为521D．使用一套七巧板中的n块17,nnN，可拼出不同大小的正方形3种【答案】AC【解析】如图所示：设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为,2,2aaa，所以它们的比为1:2:2，故A正确；从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选则两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率为2722C21p，故B错误；由题意得22222122SaSaSaSaSa小正方形大三角形中三角形小三角形平行四边形，，，，，则从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为213227C+2C5C21p，故C正确；由C知拼成的正方形的边长分别为,2,2,22aaaa，拼成的正方形的面积分别为2222,2,4,8aaaa，所以可拼出不同大小的正方形有4种，故D错误；故选：AC15．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为.【答案】109120【解析】由题意，取出3个为同一种颜色有3353CC11种取法，10个大小一样的小球任取3个球有310C120种取法，所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为111091120120.故答案为：10912016．（2023·江西