第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）（解析版）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从正整数1，2，……10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为（）A．19B．645C．745D．845【答案】C【解析】从1，2，……10中任意取出两个不同的数，共有210C45种选择，其中1,3,1,8,2,7,3,6,4,5,6,10,7,9满足取出的两个数的和等于某个正整数的平方，故取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为745.故选：C2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和”，如40337.在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是(注：若一个大于1的整数除了1和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（）A．115B．117C．122D．126【答案】C【解析】不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，从中随机选取2个不同的数，共有2121211C662个基本事件；其中两个素数和为40的情况有337，1129，1723，共3个基本事件；所求概率316622P.故选：C.3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov,XYEXYEXEY，已知X，Y的分布列如下表所示，其中01p，则Cov,XY的值为（）X12Pp1pY12P1ppA．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】XY的分布列为XY124P1pp221pp1pp2221121412EXYpppppppp，2EXp，1EYp，2Cov,2210XYpppp.故选：A.4．已知A，B，C为三个随机事件且PA，PB，PC0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】A，B，C相互独立,则满足PABCPAPBPC，且PABPAPB，PBCPBPC，PACPAPC；A，B，C两两独立则满足PABPAPB，PBCPBPC，PACPAPC；故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确．故选：A5．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（）A．35B．23C．1730D．12【答案】C【解析】设B“从乙箱中取出白球”，A“从甲箱中取出白球”，则25PA，35PA，4263PBA，3162PBA，故由全概率公式得223117535230PBPAPBAPAPBA．故选：C．6．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布16,2B，则5316PX②已知随机变量X服从正态分布22,N且40.9PX，则020.4PX③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；④2323EXEX，(23)4()DXDX.A．②③B．②③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】对于①，随机变量X服从二项分布16,2B，33361153C()(1)2216PX，①正确；对于②，随机变量X服从正态分布22,N且40.9PX，则(4)0.1PX，102(24)(4)0.42PXPXPX，②正确；对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，将5名志愿者按2:1:1:1分成4组，有25C种分法，将分得的4组安排到4个项目，有44A种方法，所以不同的分配方案共有2454CA1024240.③错误对于④，2323EXEX，(23)4()DXDX，④正确，所以说法正确的有①②④.故选：C7．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球*Nn，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X为取出白球的个数，则EX（）A．32B．12C．1D．2【答案】A【解析】由题可知，21333CC9C20nn，解得3n，X的可能取值为0,1,2,3，3336C10C20PX，123336CC91C20PX，213336CC92C20PX，3336C13C20PX，∴199101231.520202020EX.故选：A8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)D．当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】C【解析】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入0收到0的概率为1，输入1收到1的概率为1，所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)，故A正确；对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入1收到0的概率为，输入1收到1的概率为1，所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)，故B正确；对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“1,1,0”、“1,0,1”、“0,1,1”、“1,1,1”，因为信号的传输相互独立，输入1收到0的概率为，输入1收到1的概率为1，所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23311，故C错误；对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“0,0,0”、“0,0,1”、“0,1,0”、“1,0,0”，所以其概率为32131；若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为1，由321311112，且00.5，则1120，故D正确；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．给定事件,,ABC，且0PC，则下列选项正确的是（）A．若1PACPBC，则A，B互为对立事件B．若0PA，0PB且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C．(|)(|)(|)PABCPACPBCD．若A，B为相互独立事件且1PAPB，则PABPAB【答案】BCD【解析】对A，由1PACPBC表明在事件C发生的前提下，事件A或事件B发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；对B，若0PA，0PB且A，B互斥，则()0()()PABPAPB,所以A，B不可能相互独立，B正确；对C，当,AB互斥时，(|)(|)(|)PABCPACPBC；当,AB不互斥时，(|)(|)(|)PABCPACPBC，C正确；对D，若A，B为相互独立事件，则()()()PABPAPB，()()()[1()][1()]PABPAPBPAPB1[()()]()()()()PAPBPAPBPAPB,D正确.故选:BCD.10．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（）A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则3(1)10PXB．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为1325C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为54125D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则13()30PB【答案】BCD【解析】A选项，由题意得113225CC31C5PX，故错误；B选项，由题意得取出1个白球的概率为111133221155CCCC9413CC2525P，故正确；C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为Y，则33,5YB，则恰好得到2个白球的概率为22332542C55125PY，故正确；D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为11331156CC313CC5210，从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为11221156CC2CC15，故13213()30015PB，故正确.故选：BCD11．若随机变量2~,XN，则（）A．X的密度曲线与y轴只有一个交点B．X的密度曲线关于x对称C．233PXPXD．若XY，则0EY，1DY【答案】ACD【解析】若2~,XN，则其密度函数2221e2xfx，因此X的密度曲线与y轴只有一个交点22210,e2，故A正确；X的密度曲线关于直线x对称，故B错误；33323PXPXPXPX，故C正确；0EXEY，211DYDX，故D正确.故选：ACD.12．学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为nA，选择B套餐的概率为nB.一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是（）A．1nnABB．数列25nA是等比数列C．1.5EXD．361125PX【答案】ABD【解析】由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以1nnAB，所以A正确，依题意，111142nnnAAA，则12121,N545nnAAnn，又1n