第01讲 三角函数的概念与诱导公式（八大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲三角函数的概念与诱导公式目录考点要求考题统计考情分析（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．（2）理解同角三角函数的基本关系式22sincos1，sintancos．（3）掌握诱导公式，并会简单应用．2023年甲卷第14题，5分2022年浙江卷第13题，5分2021年甲卷第8题，5分高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式．知识点一：三角函数基本概念1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是ZkkS，360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad180，rad1801，180rad1．（3）扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：22121rlrS．3、任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则ysin，xcos，)0(tanxxy．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则rysin，rxcos，)0(tanxxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinR＋＋－－cosR＋－－＋tan}2|{Zkk，＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cossin22．（2）商数关系：)2(tancossink；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Zkk22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【解题方法总结】1、利用1cossin22可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tancossin可以实现角的弦切互化．2、“cossincossincossin，，”方程思想知一求二．222(sincos)sincos2sincos1sin2222(sincos)sincos2sincos1sin222(sincos)(sincos)2题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为4π4πsin,cos55，则的最小正值为（）A．π5B．3π10C．4π5D．17π10例2．（2023·全国·高三专题练习）下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2π45ZkkB．9π360Z4kkC．360315ZkkD．5ππZ4kk例3．（2023·广东·高三统考学业考试）下列各角中与437角的终边相同的是（）A．67B．77C．107D．137变式1．（2023·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角的终边为射线(0)yxx，则下列正确的是（）A．54B．2cos2C．tan12D．sin14【解题方法总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是锐角，那么2是（）．A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角例5．（2023·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限例6．（2023·浙江·高三专题练习）若角满足＝236k(k∈Z)，则的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上变式2．（1990·上海·高考真题）设角属于第二象限，且coscos22，则2角属于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边与53π的终边重合，则3的终边不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式4．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【解题方法总结】先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）n的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为__________.例8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角60,所对的弧长6πl，则该扇形面积为__________.例9．（2023·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为2:1，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为1S，圆面剩余部分的面积为2S，当212SS时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.变式6．（2023·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.变式7．（2023·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角______弧度．【解题方法总结】应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．题型四：三角函数定义题例10．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知3,4P是角终边上的一点，则sin（）A．35B．45C．34D．47例11．（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角2π3的终边上，且||2OP，则点P的坐标是（）A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)例12．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点A的坐标为1,3，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π2至OB，则点B的纵坐标为（）A．3B．1C．3D．1变式8．（2023·全国·高三专题练习）设a0，角的终边与圆221xy的交点为(34)Paa，，那么sin2cos（）A．25B．15C．15D．25变式9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点(1,0)A出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转6弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转116弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.【解题方法总结】（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例13．（2023·全国·高三对口高考）若13π7，则（）A．sin0且cos0B．sin0且cos0C．sin0且cos0D．sin0且cos0例14．（2023·全国·高三专题练习）已知点sin23,cos23A是角终边上一点，若0360，则（）A．113B．157C．293D．337例15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点(cos(sin),sin(cos))所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点（cos()，sin()）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式11．（2023·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点sin2023tan2023P，位于第（）象限A．一B．二C．三D．四变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知点cos,tanP是第二象限的点，则的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解题方法总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知是三角形的一个内角，且满足5sincos5，则tan（）A．2B．1C．3D．12例17．（2023·山西阳泉·统考二模）已知6sincos3，0π，则sincos（）A．233B．233C．33D．33例18．（2023·全国·高三专题练习）已知1sincos5，且0,π，sincos（）A．75B．75C．75D．4925变式13．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知πsinsin22，则tan（）A．2B．1C．1D．2变式14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知sincos､是关于x的方程2320xxa的两根，则a__________.变式1