专题2.3 函数的奇偶性与周期性（解析版）

专题2.3函数的奇偶性与周期性思维导图知识点总结知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．知识点四用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点五奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．典型例题分析考向一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.解(1)f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，∴f(x)＝1x是奇函数．(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．(3)f(x)＝xx－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)＝xx－1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{－1,1}．∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)＝x2－1＋1－x2既为奇函数，又为偶函数．反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2)图象法．考向二利用函数的奇偶性求解析式例2函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求当x0时，f(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.反思感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．考向三构造方程组求函数的解析式例3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝1x－1.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.反思感悟f(x)＋g(x)＝1x－1对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．考向四利用函数的奇偶性与单调性比较大小例4设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)f(－3)f(－2)B．f(π)f(－2)f(－3)C．f(π)f(－3)f(－2)D．f(π)f(－2)f(－3)答案A解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π32，所以f(π)f(3)f(2)，故f(π)f(－3)f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．基础题型训练一、单选题1．已知函数fx是定义在R上的偶函数，0x＜时，3fxx，那么2f的值是多少（）.A．8B．8C．18D．18【答案】B【分析】利用函数的奇偶性，22ff，即可求解，【详解】∵fx是定义在R上的偶函数，∴32228ff，故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.2．已知定义在R上的奇函数fx满足11fxfx，则2022f（）A．1B．0C．1D．2．【答案】B【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，【详解】由11fxfx及()fx是奇函数得(2)()()fxfxfx，(0)0f，所以(4)(2)()fxfxfx，所以()fx是周期函数，周期为4，2022200fff，故选：B．3．已知函数()fx与函数()gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且32()()fxgxxxx，则(1)(1)fgA．1B．2C．0D．-1【答案】D【分析】根据条件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），从而根据f（x）+g（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，从而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．【详解】∵f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了奇函数和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．已知非空集合A，B满足：ABR，AB，函数2()21xxAfxxxB，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对(,)AB，使得()fx为偶函数；②存在无穷多非空集合对(,)AB，使得方程()2fx无解.下面判断正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①､②都正确D．①､②都错误【答案】B【分析】在同一平面直角坐标系画出2yx=与21yx的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出22x与212x的解，即可判断2fx无解的条件，从而判断②，即可得解；【详解】解：在同一平面直角坐标系画出2yx=与21yx的图象如下所示：由221xx，解得1x，由函数图象可知当2,11,()211xxfxxx或2,00,11,()211,0xxfxxx时()fx为偶函数，故①错误；令22x，解得2x，令212x，解得32x，因为ABR，AB，2()21xxAfxxxB，所以当32A，2B时满足()2fx无解，故存在无穷多非空集合对(,)AB，使得方程()2fx无解，故②正确；故选：B5．已知定义在R上的函数1yfx是偶函数，且在0,上单调递增，则满足22fxfx的x的取值范围为（）A．2,B．,02,C．2,3D．2,2,3【答案】B【分析】先通过函数1yfx的性质得到yfx的对称性和单调性，再利用yfx的性质去掉22fxfx中的f，然后解不等式即可.【详解】函数1yfx是偶函数,且在0,上单调递增，即函数1yfx的对称轴为0x，又函数1yfx向右平移1个单位可得yfx，函数yfx的对称轴为1x，且在1,上单调递增，由22fxfx得2121xx解得0x或2x故选：B.6．若函数()fx同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有()()0fxfx；②对于定义域上的任意12,xx,当12xx时,恒有1212()()0fxfxxx；则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）1()fxx（2）2()fxx（3）22,0(),0xxfxxx，其中能被称为“理想函数”的有（）个.A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】满足①()fx为奇函数，满足②()fx在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐个判断，即可得结果.【详解】对于①对于定义域上的任意x,恒有()()0fxfx；则有()()fxfx，故满足条件①()fx为奇函数；对于②对于定义域上的任意12,xx,当12xx时，不妨设12xx，恒有1212()()0fxfxxx，12121212()()()()()0fxfxfxfxxxxx，故满足②条件的函数()fx是在定义域内是减函数；所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.（1）1()fxx，在定义域不是减函数，故不是；（2）2()fxx不是奇函数，故不是；（3）22,0(),0xxfxxxxx，()||||()fxxxxxfx，所以为奇函数，作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.故选:A【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题.二、多选题7．已知0a，设函数52fxxxb，,xaa，bZ，若fx的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A．4与1B．5与2C．5与3D．6与4【答案】CD【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.【详解】令52gxxx，52gxxx，∴gxgx，∴gx为奇函数，设gx的最大值为t，最小值为t，∴Mbt，mbt，可得2Mmb，∵Zb，∴2b为偶数，故选：CD．8．已知函数()fx是定义在(,0)(0,)上的奇函数，当0x时，2()23fxxx，则下列结论正确的是（）A．|()|2fxB．当0x时，2()23fxxxC．1x是()fx图象的一条对称轴D．()fx在(,1)上单调递增【答案】ABD【解析】根据题意先求解出0x时，fx的解析式，然后根据已知条件作出fx的图象，根据图象即可判断出1x是否为对称轴以及fx在,1上是否单调递增.【详解】当0x时，0x，所以223fxxxfx，所以223fxxx，所以2223,023,0xxxfxxxx，作出fx图象如下图所示：由图象可知：,22,fx，所以2fx，故A正确；当0x时，223,fxxx故B正确；由图象可知1x显然不是fx的对称轴，故C错误；由图象可知fx在,1上单调递增，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题的能力，难度一般.三、填空题9．函数()fx为偶函数，当0x时，2()2fxxx，则0x时，()fx________．【答案】22xx【分析】由0x，可得0x，根题意得到()fxfx，代入化简，即可求