专题2.2 函数的单调性与最值（解析版）

2.2函数的单调性与最值思维导图知识点总结知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点三函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标思考函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？答案f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．典型例题分析考向一函数单调性的判定与证明例1根据定义，研究函数f(x)＝axx－1在x∈(－1,1)上的单调性．解当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1x2，所以f(x1)－f(x2)＝ax1x1－1－ax2x2－1＝ax1x2－1－ax2x1－1x1－1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1因为x1，x2∈(－1,1)且x1x2，所以x2－x10，x1－10，x2－10，所以x2－x1x1－1x2－10，当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤考向二求单调区间并判断单调性例2(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象，并指出函数f(x)的单调区间．解f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟(1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．考向三利用函数的单调性求最值例3已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3,5]．(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3x1－x2x1＋2x2＋2，因为3≤x1x2≤5，所以x1－x20，(x1＋2)(x2＋2)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝47，f(x)min＝f(3)＝25.反思感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．基础题型训练一、单选题1．函数(21)5ykx在R上是减函数，则（）A．12kB．12kC．12kD．12k【答案】D【分析】根据一次函数的单调性有210k，即可得结果.【详解】因为函数(21)5ykx在R上是减函数，所以12102kk.故选：D2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b0，则有()A．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b)【答案】A【详解】∵a＋b0，∴a－b，b－a.∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a).∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b),故选A.点睛:本题考查抽象函数的单调性和不等式的性质,属于基础题.由已知a＋b0可得,a－b和b－a均成立.再由函数f(x)是R上的增函数，当a－b时有f(a)f(－b)(1);当b－a时有f(b)f(－a)(2);对两式相加可得f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b),即选项A正确;对(2)化简可得-f(b)-f(－a),不满足同向可加性.3．函数()sin2,()3fxxxffx为()fx的导函数，令31,log22ab，则下列关系正确的是（）A．()()fafbB．()()fafbC．()()fafbD．()()fafb【答案】B【解析】求导后，令3x，可求得132f，再利用导数可得()fx为减函数，比较,ab的大小后，根据()fx为减函数可得答案.【详解】由题意得，()cos23fxxf，cos2333ff，解得132f，所以()sinfxxx．所以()cos10fxx，所以()fx为减函数．因为331log2log32ba，所以()()fafb，故选：B．【点睛】关键点点睛：比较大小的关键是知道()fx的单调性，利用导数可得()fx的单调性.4．函数2108210xfxxxx的值域为A．11,86B．6,8C．11,106D．6,10【答案】C【分析】令1()()gxfx，把已知函数解析式变形，令1tx变形，再由“对勾函数”的单调性求解.【详解】解：令1()()gxfx，22210(1)99()(1)111xxxgxxxxx，令1tx，则[1,9]t，原函数化为9(19)yttt，该函数在[1,3]上为减函数，在[3,9]上为增函数，又当1t时，10y，当3t时，6y，当9t时，10y.∴函数2210(),(08)1xxgxxx的值域为6,10，则函数2108210xfxxxx的值域为11,106.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.5．设a，Rb，若0x时，恒有24324221xxxxaxbx，则（）A．||||2abB．2abC．||||2abD．2ab【答案】C【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.【详解】当0x时，恒有24324221xxxxaxbx，当0x时，原式化为01b；当1x时，原式化为222ab，即0ab，,10aba.又0x时，24324221xxxxaxbx恒成立；3221axbxx，即3221axaxx恒成立；322(1)21(1)1axxxxxx恒成立；当1x时，21axx恒成立，2min11axxx令2215()124fxxxx，则由二次函数的性质，知()fx在1单调递增；2()(1)1111fxf，即1a，又10a，1a，则1b.对于A，||||1ab，故A不正确；对于B，112ab，故B不正确；对于C，||||112ab，故C正确；对于D，0ab，故D不正确.故选：C.6．已知函数fx的图像关于3x对称，且对任意的1x，2120,xxx，总有1212330fxfxxx，则下列结论正确的是（）A．24ffB．25ffC．06ffD．06ff【答案】D【分析】由函数单调性的定义可得fx在[3)，上是增函数，再结合对称性可比较大小.【详解】因为对任意的1212,[0,)()xxxx，有1212330fxfxxx，不妨设120xx，则有12333xx因为1212330fxfxxx，所以12330fxfx，即1233fxfx，所以fx在[3)，上是增函数，因为fx的图像关于3x对称，所以284fff，故A错误；285fff，故B错误；06ff，故C错误，D正确.故选：D二、多选题7．函数()fx满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a，b恒有()[()()]0abfafb；②对定义域内任意两个实数1x，2x都有121222fxfxxxf成立，则称为G函数，下列函数为G函数的是（）A．()21fxxB．4()fxxC．2()43fxxx，1xD．3()fxx，0x【答案】ABC【分析】先判断两个条件分别确定函数为增函数，函数的图象是上凸函数，由此依次判断四个选项即可．【详解】解：因为对定义域内任意不相等的实数a，b恒有(