第32讲 空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第32讲空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）题型目录一览①共面、共线、共点问题的证明②异面直线③平面的基本性质④等角定理一、四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．二、直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面一、知识点梳理图形符号abPa∥b,,aAbAb公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内三、直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号llPl∥公共点个数无数个10四、平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥l，l公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上【常用结论】等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．题型一共面、共线、共点问题的证明二、题型分类精讲策略方法共面、共线、共点问题的证明【典例1】如图，在长方体1111ABCDABCD中，E、F分别是11BC和11CD的中点．(1)证明：E、F、D、B四点共面；(2)对角线1AC与平面1BDC交于点O，,ACBD交于点M，求证：点1,,COM共线；(3)证明：BE、DF、1CC三线共点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明//EFBD，即可说明E、F、D、B四点共面.（2）先证明点O面11AACC和O面1BDC，即点O在面11AACC与面1BDC的交线上在证明面11AACC面1BDC1=CM，即点O1CM，即可得到答案.（3）延长,DFBE交于G,由于面DCG面BCG1CC，则G在交线1CC上.【详解】（1）连接11,,EFBDBD在长方体1111ABCDABCD中11//BDBDE、F分别是11BC和11CD的中点11//EFBD//EFBDE、F、D、B四点共面（2）11//AACC11,,,AACC确定一个平面11AACC11,OACAC面11AACCO面11AACC对角线1AC与平面1BDC交于点OO面1BDCO在面11AACC与面1BDC的交线上=ACBDMM面11AACC且M面1BDC面11AACC面1BDC1=CMO1CM即点1,,COM共线.（3）延长,DFBE交于GDG面DCGGDGG面DCGBE面BCGGBEG面BCG面DCG面BCG1CC1GCCBE、DF、1CC三线共点.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直【答案】A【分析】连接111,,BDCDCD与1CD交于点F，易得11ABCD是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线1AB与直线EF的位置关系.【详解】如图所示，连接111,,BDCDCD与1CD交于点F，由题意，易得四边形11ABCD是平行四边形，在平行四边形11ABCD中，E，F分别是线段1,BCCD的中点，∴1//EFBD，又11ABBDB且1,,,ABEF共面，则直线1AB与直线EF相交.故选：A.3．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上【答案】B【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．【详解】如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．故选：B．4．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体1111ABCDABCD中，直线1AC与平面11ABD的交点为,MO为线段11BD的中点，则下列结论错误的是（）A．,,AMO三点共线B．1,,,MOAB四点异不共面C．1,,,BBOM四点共面D．1,,,BDCM四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知11,,,AACC四点共面且1,OMBB是异面直线,再根据M与1AC、面11ACCA、面11ABD的位置关系知M在面11ACCA与面11ABD的交线上,同理判断OA、,即可判断各选项的正误.【详解】因为11//AACC,则11,,,AACC四点共面.因为1MAC,则M平面11ACCA,又M平面11ABD,则点M在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,同理,OA、也在平面11ACCA与平面11ABD的交线上,所以,,AMO三点共线;从而1,,,MOAA四点共面,都在平面11ACCA内，而点B不在平面11ACCA内，所以1,,,MOAB四点不共面，故选项B正确；1,,,BBO三点均在平面11BBDD内，而点A不在平面11BBDD内，所以直线AO与平面11BBDD相交且点O是交点，所以点M不在平面11BBDD内，即1,,,BBOM四点不共面，故选项C错误；11BCDA，且11=BCDA，所以11BCDA为平行四边形，所以11,CABD共面，所以1,,,BDCM四点共面，故选项D正确.故选:C.5．（2023·全国·高三专题练习）下面几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．1个【答案】B【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题．【详解】命题①：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，故①错误；命题②：如果两个平面有公共点，若两平面重合，则公共点有无数个，若两平面不重合，则有且仅有一条过该公共点的公共直线，则公共点有无数个，故②正确；命题③：不妨设//ab，caA，cbB，则a、b唯一确定一个平面，所以A，B，所以AB，又Ac，Bc，所以c，故一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面，即③正确；命题④：空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，//EHFG，//EFHG，∴四边形EFGH是平行四边形，故顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，即④正确．故选：B6．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】对于B，证明//EHFG即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项A，如下图，点E、F、H、M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；对于选项B，连结底面对角线AC，由中位线定理得//FGAC，又//EHAC，则//EHFG，故E、F、G、H四点共面对于选项C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面．故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且23CFCGCBCD，则下列说法正确的是（）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则//EHBD，且12EHBD，点F，G分别是边BC，CD上的点，且23CFCGCBCD，则//FGBD，且23FGBD，因此//FGEH，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；因//FGEH，FGEH，即四边形EFGH是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，所以说法正确的命题序号是①④．故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知ABCDEF、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）．A．直线ABB．直线BCC．直线CDD．直线DA．【答案】A【分析】通过空间想象直接可得.【详解】如图，易知,AFHGHGBE，所以AFBE∥，且12AFBE，所以ABEF为梯形，故AB与EF相交，A正确；因为,,BCMHMHNLNLEF，所以BCEF∥，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，CD平面CDH，EF平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为AD平面ADF，EFI平面ADFF，故AD与EF异面，D错误.故选：A二、多选题9．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，O为DB的中点，直线1AC交平面1CBD于点M，则下列结论正确的是（）A．1C，M，O三点共线B．1C，M，O，C四点共面C．1C，O，A，M四点共面D．1D，D，O，M四点共面【答案】ABC【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；【详解】解：在正方体1111ABCDABCD中，O为DB的中点，直线1AC交平面1C