第15练 导数与函数的单调性（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第15练导数与函数的单调性（精练）一、解答题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．(1)求()fx的单调区间；【答案】(1)fx的减区间为e02,，增区间为e,2.【详解】（1）22e12e22xfxxxx，当e02x，0fx；当e2x，()0fx¢，故fx的减区间为e02,，fx的增区间为e,2.2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数2()(1)xfxxeaxb．（1）讨论()fx的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：'2xfxxea，当0a时，若,0x，则'0,fxfx单调递减，若0,x，则'0,fxfx单调递增；当102a时，若,ln2xa，则'0,fxfx单调递增，若ln2,0xa，则'0,fxfx单调递减，若0,x，则'0,fxfx单调递增；当12a时，'0,fxfx在R上单调递增；当12a时，若,0x，则'0,fxfx单调递增，若0,ln2xa，则'0,fxfx单调递减，若ln2,xa，则'0,fxfx单调递增；3．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且1a，函数2R()xfxabxex（1）求函数fx的单调区间；【答案】(1)0b时，()fx在R上单调递增；0b时，函数的单调减区间为,loglnaba，刷真题明导向单调增区间为log,lnaba；【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；【详解】(1)2(),()lnxxfxbfaxeaxab，①若0b，则()ln0xfxaab，所以()fx在R上单调递增；②若0b，当,loglnabxa时，'0,fxfx单调递减，当log,lnabxa时，'0,fxfx单调递增.综上可得，0b时，()fx在R上单调递增；0b时，函数的单调减区间为,loglnaba，单调增区间为log,lnaba.4．（2021·全国·高考真题）设函数22()3ln1fxaxaxx，其中0a.（1）讨论fx的单调性；【答案】（1）fx的减区间为10,a，增区间为1,+a；【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.又23(1)()axaxfxx，因为0,0ax，故230ax，当10xa时，()0fx；当1xa时，()0fx；所以fx的减区间为10,a，增区间为1,+a.5．（2021·全国·统考高考真题）已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．（1）当2a时，求fx的单调区间；【答案】（1）20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；【详解】（1）当2a时，22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx,令'0fx得2ln2x,当20ln2x时，()0fx¢,当2ln2x时，0fx,∴函数fx在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数1e2xfxx的单调减区间是（）A．(2),lnB．(ln2,)C．(–),2D．(2,)【答案】B【分析】由()0fx，可解得结果.【详解】1()1e2xfx,由()0fx，得ln2x，所以()fx的单调递减区间为(ln2,).故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）函数()22xxfxx，则（）A．fx为偶函数，且在0,上单调递增B．fx为偶函数，且在0,上单调递减C．fx为奇函数，且在R上单调递增D．fx为奇函数，且在R上单调递减【答案】A【分析】先用定义法判断函数的奇偶性，再求导得到函数的单调性，进而选出答案.【详解】函数()22xxfxx定义域为R，且2222xxxxfxxxfx，所以fx为偶函数，故排除选项C，D；又当0x时，2ln22ln2220xxxxfxx，则fx在0,上单调递增，故选项A正确，选项B错误，故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）设函数()fx在定义域内可导，()fx的图象如图所示，则其导函数()fx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；【详解】解：由()fx的图象可知，当,0x时函数单调递增，则0fx，故排除C、D；当0,x时()fx先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B；故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）若函数lnyxax在区间1,内单调递增，则a的取值范围是（）A．,2B．,1C．2,D．1,【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.【详解】由ln1ayxaxyx，因为函数lnyxax在区间1,内单调递增，所以有0y在1,上恒成立，即10ax在1,上恒成立，因为1,x，所以由100axaaxx，因为1,x，所以(,1]x，于是有1a，故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）若函数331fxxkx在区间1,上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．,1B．,1C．1,D．1,【答案】B【分析】利用函数fx在区间(1,)上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得k的取值范围.【详解】由题意得，22()333()0fxxkxk在区间(1,)上恒成立，即2kx在区间(1,)上恒成立，又函数2yx=在(1,)上单调递增，得21x，所以1k，即实数k的取值范围是(,1].故选：B6．（2023·全国·高三专题练习）若函数21()ln12gxxxbx存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A．3,B．3,C．,3D．,3【答案】B【分析】首先计算出'gx,由gx存在单调递减区间知()'0gx在0,上有解即可得出结果.【详解】函数21()ln12gxxxbx的定义域为0,，且其导数为'1(1)gxxbx．由gx存在单调递减区间知()'0gx在0,上有解，即1(1)xbx有解．因为函数gx的定义域为0,，所以12xx．要使1(1)xbx有解，只需要1xx的最小值小于1b，所以21b，即3b，所以实数b的取值范围是3,．故选:B．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数22exfxaxx，若对,0,mn，mn，都有2fmfnmn成立，则a的取值范围是（）A．1,2B．,1C．e,2D．,e【答案】C【分析】首先将题意转化为对,0,mn，mn，都有22fmmfnn，构造函数22exgxfxxax得到gx在0,为减函数，从而得到0,x，e2xax恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案.【详解】因为对,0,mn，mn，都有2fmfnmn成立，所以对,0,mn，mn，都有22fmmfnn.设22exgxfxxax，则gx在0,为减函数.2exgxax，等价于0,x，2e0xax恒成立，即0,x，e2xax恒成立.设exhxx，22e1eexxxxxhxxx，所以0,1x，0hx，hx为减函数，1,x，0hx，hx为增函数，所以min1ehxh，所以2ea，即e2a.故选：C8．（2023·全国·高三专题练习）若eexxfxa为奇函数，则1eefx„的解集为（）A．,2B．,1C．2,D．1,【答案】D【分析】首先根据奇函数的性质求出a，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.【详解】因为eexxfxa为奇函数，则(0)0f，解得1a.则1eefx„即1eeeexx.，而1(1)eef.则1eeeexx，可得()(1)fxf，()ee0xxfx，即()fx在定义域内单调递减.那么()(1)fxf根据单调性可得1x，即1,x.故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知ln22a，1eb，2ln39c，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．bca【答案】C【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为ln2ln424a，1lneeeb，ln99c，所以构造函数ln()xfxx，因为21ln()xfxx，由21ln()0xfxx有：0ex，由21ln()0xfxx有：ex，所以ln()xfxx在e,上单调递减，因为ln2ln4424af，1lneeeebf，ln999cf,因为94e，所以bac，故A，B，D错误.故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）对任意的12,1,3xx，当12xx时，1122ln03xaxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．3,B．3,C．9,D．9,【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln3afxxx，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln0ln(ln)0333xaaaxxxxxxx，令()ln3afxxx，(1,3]x，则对任意的12,(1,3]xx，当12xx时，12()()fxfx，即有函数()fx在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x，()1033afxaxx，而max(3)9x，则9a，所以实数a的取值范围是[9,).故选：C二、多选题11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数ee2xxaaafx，其中0a，则下列关于悬链线函数fx的性质判断中，正确的有（）.A．fx为偶函数B．fx为奇函数C．fx的最小值为aD．