第34讲 空间直线、平面的垂直（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第34讲空间直线、平面的垂直（精讲）题型目录一览①垂直性质的简单判定②线面垂直的判定③线线垂直的判定④面面垂直的判定一、直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．二、判定定理文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,aballblabP面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直//aa__a_一、知识点梳理平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直//abba三、性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行////aaabb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行//aa线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直,lala四、平面与平面垂直如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若,CDCD，且,,ABBEABBE，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．五、判定定理_b_a_b_a_文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bb六、性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba【常用结论】1.证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质(,)abab；⑦平行线垂直直线的传递性（,//acabbc）．2.证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（,,,,abaccbbcPa）；③面面垂直的性质（,,,babaa）；平行线垂直平面的传递性（,//abab）；⑤面面垂直的性质（,,ll）．3.证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,aa）．___a题型一垂直性质的简单判定策略方法此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．【典例1】（单选题）若l为一条直线，,,为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．,B．若//,llC．,//D．若//,ll【答案】C【分析】根据线面，面面，平行，垂直的性质与判定判断即可.【详解】对A，若,,,可能相交也可能平行，故A项不正确；对BD，//,l则可能有//l，故B，D项不正确；对C，,//则必有，故C项正确．故选：C【题型训练】一、单选题1．若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；③若外一条直线l与内的一条直线平行，则//l；以上说法中成立的有（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】利用直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理判定即可.【详解】对于①，设12,ll平面，且12llA,由直线与平面平行的判定定理可知1//l，2//l，再由平面与平面平行的判定定理可知//，则①正确；二、题型分类精讲对于②，设、交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、可能垂直也可能不垂直，则②错误；对于③，由直线与平面平行的判定定理可知//l，则③正确，故选：C.2．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若m∥n，n，则m∥，②若m，m，则，③若m，m，则∥，④若，m，n，则mn其中正确的命题是（）A．②③B．②④C．①③D．①②【答案】A【分析】对于①，由线面平行的判定定理分析判断，对于②，由面面垂直的判定定理分析判断，对于③，由线面垂直的性质分析判断，对于④，举例判断【详解】对于①，当m∥n，n时，m∥或m，所以①错误，对于②，当m，m时，由面面垂直的判定定理可得，所以②正确，对于③，当m，m时，有∥，所以③正确，对于④，当，m，n时，如图所示，m∥n，所以④错误，故选：A3．已知m，n，l是3条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若ml，nl，则mn∥B．若，m，lm，则lC．若m，m∥，则D．若，，则∥【答案】C【分析】利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D.【详解】对于A，由ml，nl，在同一个平面可得mn∥，在空间不成立，故A错误；对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“l”，故B错误；对于C，若m，m∥，则，故C正确；对于D，当三个平面，，两两垂直时，结论错误，故D错误.故选：C.4．设m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（）A．若mn，nl，则mlB．若，，则C．若m，mn∥，n∥，则D．若mn∥，m∥，则n∥【答案】C【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.【详解】对于A，若mn，nl,则ml∥或,ml相交或,ml异面，错误；对于B，若，，则∥或,相交，错误；对于C，若m，mn∥，则n，又n∥，则，正确；对于D，若mn∥，m∥，则n或n∥，错误.故选：C.5．设m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（）A．若mn，nl，则mlB．若，，则C．若m，//mn，则nD．若//mn，//m，则//n【答案】C【分析】由线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的理论逐一判断即可求解.【详解】对于A选项：不妨设n平面，lm，l平面，m平面，则有mn，nl，但m与l不垂直，故A选项错误.对于B选项：若，，则∥或与相交，即与不一定垂直，故B选项错误.对于C选项：设12,ll平面且12llP，若m，则有12,mlml，又//mn，所以12,nlnl，结合12llP、12,ll平面，所以有n，故C选项正确.对于D选项：若//mn，//m，则//n或n，故D选项错误.故选：C.6．设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若,mnn∥，则mB．若,m∥，则mC．若,,mnn，则mD．若,,mnn，则m【答案】D【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.【详解】当mn，//n时，可能有m，但也有可能//m或m，故A选项错误；当//m，时，可能有m，但也有可能//m或m，故选项B错误；在如图所示的正方体1111ABCDABCD中，取m为11BC，n为1CC，为平面ABCD，为平面11ADDA，这时满足mn，n，，但m不成立，故选项C错误；当m，n，n时，必有//，从而m，故选项D正确；故选：D.7．下列命题中，不正确的是（）A．夹在两个平行平面间的平行线段相等B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直C．若直线//a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条，且一定在内D．已知m，n为异面直线，m平面，n平面，若直线l满足lm，ln，l，l，则与相交，且交线平行于l【答案】C【分析】利用面面平行的性质推理判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面平行的性质判断C；利用反证法结合线面平行的性质推理判断D作答.【详解】对于A，平面//平面，点,AD平面，,BC平面，且//ABCD，由//ABCD，得点,,,ABCD共面，平面ABCD平面AD，平面ABCD平面BC，而平面//平面，于是//ADBC，因此四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，A正确；对于B，设平面、、两两垂直，它们的交线分别为b、c、d，过平面内点Q的直线e、f分别满足eb，fc，如图，由，b，e，得e，而d，则ed，同理fd，因此d，又,bc，从而,dbdc，同理bc，所以三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，B正确；对于C，由直线//a平面，P，得直线a与点P确定一个平面，令平面与平面的交线为a，显然//aa，且a平面，直线a唯一，C错误；对于D，假定与平行，由m平面，得m平面，又n平面，于是//mn，这与m，n为异面直线矛盾，即假设不成立，因此与相交，由n平面、ln及l，得l//，同理//l，在平面内存在直线//ll，在平面内存在直线//ll（,ll均不为平面与的交线），即有//ll，于是//l，直线l平行于平面与的交线，所以直线l平行于平面与的交线，D正确.故选：C8．已知m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且ml，m，nl，n，则下列命题错误的是（）A．若mn，则B．若//mn，则//C．若//m，则//D．若m，则n【答案】C【分析】A选项，分m与m两种情况，由线面垂直得到面面垂直；B选项，得到n，结合n，可得//；C选项，先得到mn，结合A选项可得，C错误；D选项，可得到//mn，进而得到n.【详解】A选项，若m，如图1，因为m，所以，若m，如图2，因为mn，n，则//m，过直线m的平面交平面于直线a，则//ma，故a，因为a，所以，综上，若mn，则，A正确；B选项，因为//mn，m，所以n，因为n，可得//，B正确；C选项，因为//m，n，所以mn，由A选项可知，C错误；D选项，因为m，n，则//mn，因为m，所以n，D正确.故选：C二、多选题9．已知m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m∥，n∥，，则mnB．若m，n，，则mn∥C．若m∥，n，mn，则∥D．若m∥，n，mn∥，则【答案】ABC【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.【详解】由题意，A项,设,,mnmn所在平面1,l,2l,只需12llmn即满足题设,故A错误；B项，设m且,mn且n,此时mn，B错误；C项，当m∥，n，mn时，可能垂直于，C错误；D项，当m∥，n，mn∥，则，故D正确.故选：ABC.10．设m，n是两条不同的直线，，