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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)第36练空间向量及其应用(精练)一、解答题1.(2023·北京·统考高考真题)如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,13PAABBCPC,.(1)求证:BC平面PAB;(2)求二面角APCB的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π3【分析】(1)先由线面垂直的性质证得PABC,再利用勾股定理证得BCPB,从而利用线面垂直的判定定理即可得证;(2)结合(1)中结论,建立空间直角坐标系,分别求得平面PAC与平面PBC的法向量,再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】(1)因为PA平面,ABCBC平面ABC,所以PABC,同理PAAB,所以PAB为直角三角形,又因为222PBPAAB,1,3BCPC,所以222PBBCPC,则PBC为直角三角形,故BCPB,又因为BCPA,PAPBP,所以BC平面PAB.(2)由(1)BC平面PAB,又AB平面PAB,则BCAB,刷真题明导向以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)APCB,所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)APACBCPC,设平面PAC的法向量为111,,mxyz,则00mAPmAC,即1110,0,zxy令11x,则11y,所以(1,1,0)m,设平面PBC的法向量为222,,xnyz,则00nBCnPC,即222200yxyz,令21x,则21z,所以(1,0,1)n,所以11cos,222mnmnmn,又因为二面角APCB为锐二面角,所以二面角APCB的大小为π3.2.(2023·全国·统考高考真题)如图,在正四棱柱1111ABCDABCD中,12,4ABAA.点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上,22221,2,3AABBDDCC.(1)证明:2222BCAD∥;(2)点P在棱1BB上,当二面角222PACD为150时,求2BP.【答案】(1)证明见解析;(2)1【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量坐标相等证明;(2)设(0,2,)(04)P,利用向量法求二面角,建立方程求出即可得解.【详解】(1)以C为坐标原点,1,,CDCBCC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系,如图,则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA,2222(0,2,1),(0,2,1)BCAD,2222BCAD∥,又2222BCAD,不在同一条直线上,2222BCAD∥.(2)设(0,2,)(04)P,则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),ACPCDC,设平面22PAC的法向量(,,)nxyz,则22222202(3)0nACxyznPCyz,令2z,得3,1yx,(1,3,2)n,设平面222ACD的法向量(,,)mabc,则2222222020mACabcmDCac,令1a,得1,2bc,(1,1,2)m,2263cos,cos150264(1)(3)nmnmnm,化简可得,2430,解得1或3,(0,2,1)P或(0,2,3)P,21BP.3.(2023·全国·统考高考真题)如图,三棱锥ABCD中,DADBDC,BDCD,60ADBADC,E为BC的中点.(1)证明:BCDA;(2)点F满足EFDA,求二面角DABF的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)33.【分析】(1)根据题意易证BC平面ADE,从而证得BCDA;(2)由题可证AE平面BCD,所以以点E为原点,,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴,建立空间直角坐标系,再求出平面,ABDABF的一个法向量,根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.【详解】(1)连接,AEDE,因为E为BC中点,DBDC,所以DEBC①,因为DADBDC,60ADBADC,所以ACD与ABD△均为等边三角形,ACAB,从而AEBC②,由①②,AEDEE,,AEDE平面ADE,所以,BC平面ADE,而AD平面ADE,所以BCDA.(2)不妨设2DADBDC,BDCD,22,2BCDEAE.2224AEDEAD,AEDE,又,AEBCDEBCE,,DEBC平面BCDAE平面BCD.以点E为原点,,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴,建立空间直角坐标系,如图所示:设(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0)DABE,设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为11112222,,,,,nxyznxyz,二面角DABF平面角为,而0,2,2AB,因为2,0,2EFDA,所以2,0,2F,即有2,0,0AF,1111220220xzyz,取11x,所以1(1,1,1)n;22222020yzx,取21y,所以2(0,1,1)n,所以,121226cos332nnnn,从而63sin193.所以二面角DABF的正弦值为33.4.(2022·天津·统考高考真题)直三棱柱111ABCABC-中,112,,AAABACAAABACAB,D为11AB的中点,E为1AA的中点,F为CD的中点.(1)求证://EF平面ABC;(2)求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值;(3)求平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)45(3)1010【分析】(1)以点1A为坐标原点,1AA、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得直线BE与平面1CCD夹角的正弦值;(3)利用空间向量法可求得平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值.【详解】(1)证明:在直三棱柱111ABCABC-中,1AA平面111ABC,且ACAB,则1111ACAB以点1A为坐标原点,1AA、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则2,0,0A、2,2,0B、2,0,2C、10,0,0A、10,2,0B、10,0,2C、0,1,0D、1,0,0E、11,,12F,则10,,12EF,易知平面ABC的一个法向量为1,0,0m,则0EFm,故EFm,EF平面ABC,故//EF平面ABC.(2)解:12,0,0CC,10,1,2CD,1,2,0EB,设平面1CCD的法向量为111,,uxyz,则111112020uCCxuCDyz,取12y,可得0,2,1u,4cos,5EBuEBuEBu.因此,直线BE与平面1CCD夹角的正弦值为45.(3)解:12,0,2AC,10,1,0AD,设平面1ACD的法向量为222,,vxyz,则122122200vACxzvADy,取21x,可得1,0,1v,则110cos,1052uvuvuv,因此,平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值为1010.5.(2022·浙江·统考高考真题)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,//ABDC,//DCEF,5AB,3DC,1EF,60BADCDE,二面角FDCB的平面角为60.设M,N分别为,AEBC的中点.(1)证明:FNAD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)5714.【分析】(1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H,由平面知识易得FCBC,再根据二面角的定义可知,60BCF,由此可知,FNBC,FNCD,从而可证得FN平面ABCD,即得FNAD;(2)由(1)可知FN平面ABCD,过点N做AB平行线NK,所以可以以点N为原点,NK,NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz,求出平面ADE的一个法向量,以及BM,即可利用线面角的向量公式解出.【详解】(1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形,//,//,5,3,1ABDCCDEFABDCEF,60BADCDE,由平面几何知识易知,2,90DGAHEFCDCFDCBABC,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形,∴在RtEGD和RtDHA,23EGDH,∵,DCCFDCCB,且CFCBC,∴DC平面,BCFBCF是二面角FDCB的平面角,则60BCF,∴BCF△是正三角形,由DC平面ABCD,得平面ABCD平面BCF,∵N是BC的中点,FNBC,又DC平面BCF,FN平面BCF,可得FNCD,而BCCDC,∴FN平面ABCD,而AD平面ABCDFNAD.(2)因为FN平面ABCD,过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点,NK,NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz,设(5,3,0),(0,3,0),(3,3,0),(1,0,3)ABDE,则333,,22M,333,,,(2,23,0),(2,3,3)22BMADDE设平面ADE的法向量为(,,)nxyz由00nADnDE,得22302330xyxyz,取(3,1,3)n,设直线BM与平面ADE所成角为,∴3333322||5357sincos,14|||39723313944nBMnBMnBM.6.(2022·全国·统考高考真题)如图,PO是三棱锥PABC的高,PAPB,ABAC,E是PB的中点.(1)证明://OE平面PAC;(2)若30ABOCBO,3PO,5PA,求二面角CAEB的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1113【分析】(1)连接BO并延长交AC于点D,连接OA、PD,根据三角形全等得到OAOB,再根据直角三角形的性质得到AODO,即可得到O为BD的中点从而得到//OEPD,即可得证;(2)建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值,再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】(1)证明:连接BO并延长交AC于点D,连接OA、PD,因为PO是三棱锥PABC的高,所以PO平面ABC,,AOBO平面ABC,所以POAO、POBO,又PAPB,所以POAPOB△△,即OAOB,所以OABOBA,又ABAC,即90BAC,所以90OABOAD,90OBAODA,所以ODAOAD所以AODO,即AODOOB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以//OEPD,又OE平面PAC,PD平面PAC,所以//OE平面PAC(2)解:过点A作//AzOP,如图建立空间直角坐标系,因为3PO
本文标题:第36练 空间向量及其应用(精练:基础+重难点)【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与
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