专题2.1 函数及其表示（解析版）

2.1函数及其表示思维导图知识点总结(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.典型例题分析考向一函数的定义域典例一1.函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为(B)A.(2,+∞)B.(1,2)C.(0,2)D.[1,2]解析:要使函数有意义则解得1x2.所以函数f(x)的定义域为(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(B)A.(-12,0)B.(-12,0]C.(,+∞)D.(-∞,]解析:因为f(x)=的定义域为R,所以只需分母不为0即可,所以a=0或可得-12a≤0.故选B.3.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为.解析:将(1-x化为,所以x1,又因为2x-1≠0,所以x≠.综上,定义域为(-∞,)∪(,1).答案:(-∞,)∪(,1)解题分析与总结(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.考向二求函数的解析式典例二1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=.解析:(解方程组法)因为2f(x)+f()=3x,①把①中的x换成,得2f()+f(x)=.②联立①②可得解此方程组可得f(x)=2x-(x≠0).答案:2x-(x≠0)2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为.解析:设f(x)=ax+b(a0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有解得或(舍去),所以f(x)=2x+2.答案:f(x)=2x+2解题分析与总结1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围.考向三分段函数及其应用微考点1分段函数求值已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于.解析:由题意得f()=2×=,f[f()]=f()=2×=.f(-)=f(-)=f()=2×=,所以f[f()]+f(-)=+=.答案:解题分析与总结求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.微考点2分段函数与方程已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=()A.-1或2B.2或4C.-2或4D.-1或4解析:法一当a0时,由a2-a=2解得a=-1或a=2(舍去);当a≥0时,由=2可得a=4.故选D.法二结合选项可知a=2时≠2,因此排除A,B.对于a=-2时,(-2)2-(-2)=6≠2,排除C.故选D.解题分析与总结根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.微考点3分段函数与不等式函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)1的x的取值范围是.解析:当x时,f(x)+f(x-)=2x+2x1;当0x≤时,f(x)+f(x-)=2x+(x-)+1=2x+x+2x1;当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+(x-)+1=2x+,所以f(x)+f(x-)1⇒2x+1⇒x-,即-x≤0.综上,x∈(-,+∞).答案:(-,+∞)解题分析与总结求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.微考点4分段函数的值域设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为()A.(-∞,1]B.[2,+∞)C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)解析:当x0时,F(x)=+x≥2=2,当且仅当=x,即x=1时取等号;当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).故选C.解题分析与总结分段函数的值域是各段函数值域的并集.基础题型训练一、单选题1．下列各组函数中，是相等函数的是（）A．55fxx与2gxxB．221fxxx与221ttgttZC．242xfxx与2gxxD．0fxx与01gxx【答案】D【分析】依据各选项中两个函数的定义域和对应法则是否相同逐项检验即可.【详解】对于A，,fxxgxx，对应法则不一致，故两个函数不是相等的函数，故A错.对于B，fx的定义域为R，gt的定义域为Z，两个函数的定义域不一致，故它们不是相同的函数，故B错.对于C，fx的定义域为|2xx，gx的定义域为R，故两个函数不是同一函数，故C错误.对于D，两个函数的定义域均为|0xx，且1fxgx，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数相等的判断，一般依据函数三要素来判断，本题属于基础题.2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．1fxx与2xxgxxB．xfxxx与00ttgttt，，C．1fx，0gxxD．2fxx，2gxx【答案】B【分析】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.【详解】相同函数有相同定义域及相同解析式.对于选项A：1fxx的定义域为R，2xxgxx的定义域为0xx，定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于选项B：函数xfxxx与函数00ttgttt，，的定义域都是0xx，又00xxxfxxxxx，，，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.对于选项C：fx的定义域为R，gx的定义域为0xx，定义域不同，不是同一函数，故C错误；对于选项D：2fxx的定义域为R，2gxx的定义域为0xx，定义域不同，不是同一函数，故D错误．故选：B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.4．函数223yxxx的值域为（）．A．1,B．2,C．3,D．12,【答案】A【解析】函数223yxxx，可得223yxxx，两边平方，即可求解．【详解】解：函数2223(1)2yxxxxx，可知函数的定义域为R．当1x…时，可知函数y是递增函数，可得12y…当1x„时，可得2230yxxx…，两边平方，0yx…，即1y；222()23yxxx，可得：222223xxyyxx，(1)y23122yxy„．得Ry．由2232302(1)22yyyyxyyy…，1y．2230yy…可得：Ry综上可得1y．函数223yxxx的值域为(1)．故选：A．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．5．若函数122,1()log(1),1xxfxxx在(,]a上的最大值为4，则a的取值范围为（）A．[1,)B．(,1]C．[1,15]D．[0,15]【答案】C【分析】画出分段函数fx的图象，并计算得出(1)4f，(15)4f，观察图象可得结果.【详解】可知12xy在(,1]单调递增，2log(1)yx在(1,)单调递增，且(1)4f，(15)4f，画出函数()fx图象，观察图象可知，要使()fx在(,]a上的最大值为4，需满足115a．故选：C.6．下列各函数中，表示相等函数的是（）A．lgyx与21lg2yxB．211xyx与1yxC．21yx与1yxD．yx与logxaya(0a且1a)【答案】D【解析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果.【详解】A项：函数lgyx定义域为0,，函数21lg2yx定义域为0xx，A错误；B项：函数211xyx定义域为1xx，函数1yx定义域为R，B错误；C项：函数21yx值域为1,，函数1yx值域为R，C错误；D项：函数yx与函数logxaya(0a且1a)定义域相同，对应关系相同，D正确.故选：D【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.二、多选题7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2yx=，1,2x与函数2yx=，2,1x就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（）A．2020yxB．12yxC．2yxx=-D．22020xyx【答案】ACD【解析】函数2020yx与22020xyx是偶函数可判断出是同族函数，函数2yxx=-关于12x对称，在12x的左右两边函数值相等，所以也可构成同族函数，函数12yx是单调函数，所以不能构成同族函数.【详解】函数2020yx与22020xyx是偶函数，所以可构造“同族函数”，函数12yx在定义域0,上为增函数，所以不满足“同族函数”，函数2yxx=-，1[0,]2x与函数2yxx=-，1[,1]2x的值域相同，所以是同族函数.故选：ACD.8．下列函数中，表示同一个函数的是（）A．(5)(5)5xx