第6节 双曲线

第6节双曲线考试要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.4.若渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.(易错题)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2答案AD解析若t＞3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t＜1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2＜t＜3，则0＜3－t＜t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1＜t＜2，则0＜t－1＜3－t，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，则方程x23－t＋y2t－1＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2·3m·m·cos60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________.答案4解析双曲线x2m－y2＝1(m0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.5.(易错题)双曲线x29－y216＝1上一点P到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为________.答案13解析在双曲线x29－y216＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.6.(2020·北京卷)已知双曲线C：x26－y23＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.答案(3，0)3解析由x26－y23＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝36x，即x－2y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝312＋（－2）2＝3.考点一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·滨州质检)x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示的曲线方程为()A.x24－y25＝1(x≤－2)B.x24－y25＝1(x≥2)C.y24－x25＝1(y≤－2)D.y24－x25＝1(y≥2)答案C解析x2＋（y－3）2的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，x2＋（y＋3）2的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4表示的曲线方程为y24－x25＝1(y≤－2).(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.感悟提升在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.答案x2－y28＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).(2)(2022·广州模拟)过双曲线x2－y24＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.答案24解析由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.考点二双曲线的标准方程1.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.答案x22－y2＝1解析法一椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0).设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x22－y2＝1.法二设所求双曲线标准方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1λ4)，将点P(2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x22－y2＝1.2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±34x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.答案x216－y29＝1解析由题意得ba＝34，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.3.经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________.答案y225－x275＝1解析设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3，27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.4.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________.答案x25－y220＝1解析设所求双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ(λ0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1.感悟提升1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).考点三双曲线的简单几何性质角度1求双曲线的渐近线例2(1)(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.3x±y＝0B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0D.2x±3y＝0答案C解析∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，即12＝（3a）2＋a2－4c22×3a×a，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴b2a2＝34，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±32x，即3x±2y＝0.(2)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A