第1节 直线的方程

第1节直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α180°}.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量P1P2→＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝yx.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00απ2π2π2απk0k0不存在k02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.2.(易错题)直线xtan60°＋y－2＝0的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C解析设直线倾斜角为α，∵y＝－xtan60°＋2，∴直线的斜率为k＝－tan60°＝－3.∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.3.(多选)(2022·烟台调研)下列说法正确的是()A.有的直线斜率不存在B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tanαC.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D.截距可以为负值答案ABD4.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A.ab＞0，bc＜0B.ab＞0，bc＞0C.ab＜0，bc＞0D.ab＜0，bc＜0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故－ab＜0，－cb＞0，故ab＞0，bc＜0.5.(易错题)经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________________.答案x－4y＝0或x＋y－5＝0解析当直线过原点时，直线方程为y＝14x，即x－4y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1(a≠0)，代入(4，1)，4a＋1a＝1，∴a＝5，故直线方程是x＋y－5＝0.6.(2021·上海卷)直线x＝－2与直线3x－y＋1＝0的夹角为________.答案π6解析由于直线x＝－2的倾斜角为π2，直线3x－y＋1＝0即直线y＝3x＋1，其倾斜角为π3，故夹角为π6.考点一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).(2)(2022·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2答案D解析因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.感悟提升(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性.训练1(1)(2021·青岛模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A.k≥12B.k≤－2C.k≥12或k≤－2D.－2≤k≤12答案D解析直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，∴kPA＝3－11－2＝－2，kPB＝－1－1－2－2＝12.又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤12.(2)已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈－33－1，3－1，则直线AB的倾斜角α的取值范围是()A.π6，π2B.π2，2π3C.π6，π2∪π2，2π3D.π6，2π3答案D解析①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，∴α∈π6，π2∪π2，2π3.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是π6，2π3.考点二求直线的方程例2(1)已知一条直线经过点A(2，－3)，且它的倾斜角等于直线x－3y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为____________________.答案3x－y－33＝0解析由已知得直线x－3y＝0的斜率为33，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线的方程为y－(－3)＝3(x－2)，即3x－y－33＝0.(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.答案x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1，则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________.答案2x＋3y－5＝0解析联立x＋y＝2，2x－y＝1，解得x＝1，y＝1，∴直线过点(1，1).∵直线的方向向量v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－23，则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.感悟提升(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.训练2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________.答案5x－2y－5＝0解析设C(x0，y0)，则Mx0＋52，y0－22，Nx0＋72，y0＋32.因为点M在y轴上，所以x0＋52＝0，解得x0＝－5.因为点N在x轴上，所以y0＋32＝0，解得y0＝－3.所以M0，－52，N(1，0)，所以直线MN的方程为x1＋y－52＝1，即5x－2y－5＝0.(2)过点(－2，－3)，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是________.答案3x－2y＝0或x－y－1＝0解析①当直线过原点时，又由直线过点(－2，－3)，则其方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当直线不过原点时，若该直线在x轴、y轴上的截距互为相反数，设此时直线的方程为xa＋y－a＝1，又由直线过点(－2，－3)，则有－2a＋－3－a＝1，解得a＝1，此时直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0或x－y－1＝0.(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为________________.答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0解析设直线方程为y＝k(x＋2)＋2，直线与两坐标轴交点为－2－2k，0，(0，2k＋2).∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴12－2－2k·|2k＋2|＝1，∴12－2k－2k|2k＋2|＝1，∴（2k＋2）22|k|＝1.①k＞0时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，(2k＋2)2＝－2k，∴2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－12，则所求直线为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.考点三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).(2)解由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k).依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12，等号成立，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.感悟提升1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.训练3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.解法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2k－1k，0，B(0，1－2k).∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴2k－1k＞0，1－2k＞0，∴k＜0.于是S△AOB＝12·|OA|·|O