一元函数微分学总结

二、典型例题分析与解答第二、三章机动目录上页下页返回结束一元函数微分学总结一、知识点与考点机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)导数与微分①若令②③1.导数定义:则2.左右导数:左导数:右导数:机动目录上页下页返回结束导函数简称导数,且有函数y=f(x)在点4.导数的几何意义:处的导数表示曲线y=f(x)在点处的切线斜率.即有曲线的切线方程为3.导函数的定义:曲线的法线方程为是x→0时比x高阶的无穷小量,并称Ax为f(x)在其中A是与x无关的量,若函数的增量可表示为y=Ax+,则称y=f(x)在点x处可微,机动目录上页下页返回结束记为dy,即dy=Ax.5.微分的定义:由于x=dx,所以6.微分的几何意义:点x处的微分,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy表示曲线的切线纵坐标的增量.7.基本定理定理1(导数存在的判定定理)定理2(函数可导与连续的关系)机动目录上页下页返回结束可导函数必连续,但连续函数未必可导.可导定理4.(函数与其反函数的导数的关系)可微反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3.(函数一阶可导与可微的关系)机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)设及(4)均为可导函数,则复合函数可导,且或(微分形式不变性)8.运算法则(1)(3)(2)9.基本初等函数的导数与微分公式(3)(1)(2)(4)(8)机动目录上页下页返回结束(5)(6)(7)(9)机动目录上页下页返回结束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)10.高阶导数220()()limxdyf'xxf'xydxx1110()()limn(n)(n)(n)(n)nxdyfxxfxyydxx例1.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析:)(xf0x,43x0x,23xxxfx02lim)0(300xxfx04lim)0(3000x0x)(xf,122x,62x)0(fxxx06lim200)0(fxxx012lim200)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f不存在.2又0x,24x0x,12x机动目录上页下页返回结束11.方程确定的隐函数的导数例2.设函数y=y(x)由方程确定,dydx.求cos()0xyexy解法1:方程两边对x求导数得:(1)sin()()0,x+yey'xyyxy'解得sin()sin()xyxydyyxye.dxexxy方程两边微分得:解法2:()sin()()0xyedxdyxyydxxdy,sin()sin()xyxydyyxye.dxexxy解得:[sin()][sin()]xyx+yexxydyyxyedx,12.参数方程确定的函数的导数例3.设求机动目录上页下页返回结束21xtcosyt22dy.dx2,dxtdtsin,dytdtsin2dytdtdxtdt1sin2t.t22dydx解:()ddydxdx1sin()2dtdxt1sin()2dtdtdttdx21cossin122ttttt3sincos4tttt13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数的导数时用对数求导法.解法1:取对数机动目录上页下页返回结束sinlnlnxyx1sincoslnxy'xxyxsinsin(cosln).xxy'xxxx等式两边对x求导数:则有:sinlnxx例4.设sin(0),xyxxy'.求解法2:作指数对数恒等变形:sinsinln()sinln=,xxxxxyxeesinln=()xxyesinln=(sinln)xxexxsin1=(coslnsin).xxxxxx机动目录上页下页返回结束3425(1)2(3)xxyx123ln1ln(2)ln345lnyxxx例5.设则有131214(2)5(3)y'yxxx解y'.求取对数等式两边对x求导数:3425(1)2312[]14(2)5(3)(3)xxy'xxxx(二)中值定理机动目录上页下页返回结束1.罗尔定理(1)在闭区间[a,b]上连续;(3)且f(a)=f(b);成立.(2)在开区间(a,b)内可导;若函数f(x)满足条件:则在开区间(a,b)内至少存在一点使2.拉格朗日中值定理若函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式()0f'.()()()()()fbfaf'baab3.柯西中值定理机动目录上页下页返回结束0;F'(x)成立.()()()()()()()fbfaf'abFbFaF'若函数f(x),F(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导且则在开区间(a,b)内至少存在一点使等式(三)导数的应用定理1设函数f(x)在(a,b)内可导,1.函数的单调性()xa,b若对都有()0(()0),f'xf'x或则称f(x)在(a,b)内单调增(减).2.函数的极值0()()fxfx设函数f(x)在0x内有定义,x为该邻域内异于机动目录上页下页返回结束0()Ux的任意一点,若恒有(或0()())fxfx则称为f(x)在该邻域的极大(小)值.0()fx极大值与极小值统称为函数的极值,方程使函数取得极值的点称为极值点.定理2.(函数取得极值的必要条件)的根称为函数f(x)的驻点.则有设函数f(x)在点处可导,(可导函数的极值点必为驻点)()=0f'x0()=0.f'x且在该点处取得极值,0x定理3.机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第一充分条件)设函数f(x)在内可导,0()Ux0()=0,f'x且(或f(x)在点0x处连续但不可导).(1)若当x由左至右经过0x时()f'x由“+”变“–”,则0()fx为函数的极大值.(2)若当x由左至右经过时由“-”变“+”,(3)若当x由左至右经过为函数的极小值.则()f'x则不变号,不是0()fx时()f'x0()fx函数的极值.定理4机动目录上页下页返回结束(函数取得极值的第二充分条件)设函数f(x)在处0()0,f''x0()=0,f'x且(1)若0()0,f''x则0()fx为函数f(x)的极大值.(2)若0()0,f''x则0()fx为函数f(x)的极小值.3.函数的最值求连续函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1).求f(x)在(a,b)内的驻点及导数不存在的点;(2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值;(3).比较上述函数值,其中最大者为最大值,最小者为最大值.机动目录上页下页返回结束12x,x恒有1212()()22xxfxfxf(弧在弦的下方)(或则称曲线f(x)在(a,b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界点4.函数曲线的凹凸性和拐点设函数f(x)在(a,b)内连续,若对于(a,b)内任意两点1212()()22xxfxfxf(弧在弦的上方))xyoxyo1x2x122xxxyo1x2x122xx称为曲线的拐点.定理1.(曲线凹凸性的判定定理)若在(a,b)上机动目录上页下页返回结束则曲线y=f(x)在当x自左至右经过定理2.(曲线拐点的判定定理)若在处时变号,则是曲线y=f(x)的拐点.(a,b)上为凹(凸)弧.二﹑典型例题分析与解答应填−1.已知则机动目录上页下页返回结束解:注释:本题考查导数的定义.例6.设例7.2,1(),1xexfxaxbx在处可导,求,.ab1x解:()fx在1x处连续且可导,即(1)(1)(1),(1)(1).fffff211(1)lim()lim,xxxffxee11(1)lim()lim(),xxffxaxbab(1)(1)(1),(1).abefff由2211(1)limlim22,1xxxxeefxeex11(1)limlim.11xxaxbeaxbabfaxx由(1)(1)2(2).fefa再代入(1)得.ae例8.设f(x)可导,()()(1sin)Fxfx|x|则是F(x)在x=0可导的().(A)充分必要条件;机动目录上页下页返回结束(0)0f(B)充分条件但非必要条件;(C)必要条件但非充分条件;解:直接计算解此题.由于A(D)既非充分条件又非必要条件.()sinfx|x|而f(x)可导,所以F(x)的可导性与()()(1sin)Fxfx|x|的可导性相同.=()+()|sin|,fxfxx故选项(A)正确.(x)在x=0处可导的充分必要条件是机动目录上页下页返回结束0()sin(0)=limxfx|x|'x注释:即f(0)=0.本题考查函数在一点处可导的充要条件.0()sin=limxfxxx(0)f0()sin(0)=limxfx|x|'x0()sin=limxfxxx(0)f(0)=(0),ff令()()sinxfx|x|由导数的定义知解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.0=lim()xfx0=lim()xfx例9曲线在点(0,1)处的切线方程是___________.曲线在点(0,1)的切线方程为解:机动目录上页下页返回结束注释:①两边对x求导得:1yx.1yx.即为将x=0,y=1代入①式得:本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.例10设函数()yyx由方程1xyyxe确定,求(0),(0).yy解由()(()),(1)xyxyyxexeyxyx()(())(())xyxyyxeyxyxeyxyx(())(())(2()()),(2)xyxyxeyxyxyxyxxeyxxyx0011()(())1.xyxyxxyyeeyxyx由原方程得0,1,xy代入(1)得(0)1,y再将0,1,xy(0)1,y代入(2)得(0)2.y注释本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数.注意求导数时,不必写出导函数.机动目录上页下页返回结束例11证明方程cbacxbxax23423在(0,1)内至少有一实根[分析]如令)(234)(23cbacxbxaxxf)1(),0(ff则的符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证证令xcbacxbxaxxf)()(234则内可导上连续，在)1,0(]1,0[)(xf且0)1()0(ff故由Rolle定理知0)()1,0(f使即cbacxbxax23423在(0,1)内有一实根例12.处().设y=f(x)是方程则函数f(x)在点且机动目录上页下页返回结束(C)某邻域内单调增加;(B)取得极小值;的一个解,(A)取得极大值;解:(D)某邻域内单调减少.由于y=f(x)是方程的一个解,所以有即有将代入上式得所以函数f(x)在点处取得极大值.A选项(A)正确.机动目录上页下页返回结束例13.且设f(x)有二阶连续导数,则().(A)f(0)是f(x)的极大值;(B)f(0)是f(x)的极小值;(C)(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点;(D)f(0)不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.解:由于由极限的保号性知存在x=0的某去心邻域,在此邻域内有即有B即有机动目录上页下页返回结束由于当x0时,函数