专题突破卷23 圆锥曲线大题归类（解析版）

专题突破卷23圆锥曲线大题归类1.轨迹问题1．已知点14,0A，点P是圆2216xy上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆2216xy的位置关系.【答案】22(7)4xy，两圆相外离【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.【详解】设(,)Mxy，00,Pxy，则由中点坐标公式得0014202xxyy，002142xxyy.因为00,Pxy在圆2216xy上，所以22(214)(2)16xy，即22(7)4xy.所以点M的轨迹是以7,0为圆心，2为半径的圆.两圆的圆心距22(70)07d，而两圆半径之和为6，即76，所以这两圆相外离.2．在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.①过点1,0F的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径；②点P到1,0F的距离比P到y轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C的方程；【答案】(1)24yx【分析】（1）选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点P是以1,0F为焦点，以直线1x=为准线的抛物线，从而可求其方程．选②：设动圆的圆心为,,EPxy，则1,22xyE，通过直接法求轨迹方程的方法，列出,xy满足的关系式，化简即可得到点P的轨迹方程．【详解】（1）选①：如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线=1x于点P，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得21PHr，所以2112PPrr，又2PFr，所以PPPF，由抛物线的定义知，点P是以1,0F为焦点，以直线=1x为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：24yx.选②：设动圆的圆心为,,EPxy，则1,22xyE，由圆E与y轴相切可得2EPFx，即221(1)22xxy，整理可得24yx.3．已知圆1F：22(1)9xy，圆2F：22(1)1xy，圆223:39Fxy，圆242:31xFy．(1)若动圆M与圆1F内切与圆2F外切.求动圆圆心M的轨迹1C的方程；(2)若动圆M与圆3F、圆4F都外切.求动圆圆心M的轨迹2C的方程．【答案】(1)22143xy(2)22118yxx【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义结合条件，即可得到结果；（2）根据题意，由双曲线的定义结合条件，即可得到结果.【详解】（1）设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆1F内切，与圆2F外切，∴13MFr，且21MFr.于是121242MFMFFF，所以动圆圆心M的轨迹是以12,FF为焦点，长轴长为4的椭圆.从而2,1ac，所以23b.故动圆圆心M的轨迹1C的方程为22143xy．（2）圆3F的圆心为33,0F，半径为33r，圆4F的圆心为43,0F，半径为41r，因为34346FFrr，则圆3F与圆4F外离，设圆M的半径为R，由题意可得3231MFRMFR，所以，34342MFMFFF，所以，圆心2C的轨迹是以点3F、4F分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心2C的轨迹方程为22221,0,0xyxaabab≥，由题意可得22a，则1a，22238ba，因此，圆心M的轨迹方程为22118yxx.4．已知反比例函数1yx的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；(2)设12,AA为双曲线C的两个顶点，点0000,,,MxyNyx是双曲线C上不同的两个动点．求直线1AM与2AN交点的轨迹E的方程；【答案】(1)顶点：11,1A、21,1A；焦点：12,2F、22,2F；(2)2221xyx【分析】（1）先得到双曲线的顶点和焦点均在直线yx上，联立1yx与yx得1x，即可求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）求出直线1AM与2AM方程，两式相乘，将001yx代入，即可求直线1AM与2AM交点的轨迹E的方程；【详解】（1）由题意得，双曲线的顶点和焦点均在直线yx上，联立1yx与yx得，1xx，解得1x，当1x时，1y，当=1x时，1y，故顶点坐标为11,1A、21,1A，设焦点横坐标为c，因为双曲线为等轴双曲线，故112c，故焦点坐标为12,2F、22,2F；（2）0101:111yAMyxx，0201:111xANyxy，两式相乘，得220000111111yxyxxy．将001yx代入上式，得2211yx，即222xy．即直线1AM与2AN交点的轨迹E的方程为2221xyx．5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；【答案】(1)24yx【分析】（1）根据题意列出圆心满足的方程结合弦长得出的方程，化简即可得答案.【详解】（1）设圆心(,)Cxy，半径为r，因为圆心为C的动圆过点(2,0)，所以2222xyr，因为圆心为C的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以2222xr，所以22224xyx，即24yx，所以曲线E是抛物线.6．如图所示，以原点O为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设A为大圆上任意一点，连接OA交小圆于点B，设AOx，过点AB、分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M．(1)求动点M的轨迹C的方程；【答案】(1)2214xy【分析】（1）根据(02)AOx得到A点坐标，设出M点坐标，根据参数方程即可得到曲线C的方程；【详解】（1）因为(02)AOx，所以2cos,2sin,cos,sinAB，设,Mxy，则2cossinxy（是参数），消去得2214xy，即曲线C的方程为2214xy；2.求值问题7．（2023·四川·校联考一模）已知点2,0在椭圆C：22221(0)xyabab上，点1,02Mmm在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为14.(1)求椭圆C的方程；(2)记BMES△，AMFS分别为BME，AMF的面积，若14AMFBMESS△△，求m的值.【答案】(1)2214xy(2)153【分析】（1）利用斜率乘积建立方程，把点代入求解椭圆方程；（2）先求出点E，F的坐标，然后求出线段比例，最后代入三角形面积公式化简求解即可.【详解】（1）设,Exy，依题意0,Ab，0,Bb，可得2221004EAEBybybybkkxxx，整理可得222214xybb，又椭圆C过点2,0，所以21b，故椭圆C的方程为2214xy；（2）依题意，可知AM：112yxm，代入椭圆方程2214xy，整理得22140mxmx，从而得到22241,11mmEmm，又BM：312yxm，代入椭圆方程2214xy，整理得229120mxmx，从而得到222129,99mmFmm，所以222221144131MAmmmmMEmmmm，22222121293999mmmmMFmMBmmm，则1sin21sin2AMFBMEAMMFAMFAMMFSSBMMEBMMEBME2222222311819993mmmmmmm,由于14AMFBMESS△△，所以281194m，解得51533m.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.8．已知双曲线C：2212yx的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；(2)若点11,Pxy，22,Qxy在双曲线C的右支上，且120xx，10y，PQAB∥，过点P且斜率为2的直线与过点Q且斜率为2的直线交于线段AB上一点M，且ABMB，求实数的值.【答案】(1)3,23(2)2【分析】(1)求出双曲线C的渐近线方程，然后分别和直线AB的方程为yx3联立，求出,AB坐标，从而求得线段AB的中点坐标3,23；（2）设直线PQ的方程为0ykxmk，联立2222ykxmxy，韦达定理表示出,PQ两点间关系,然后表示出,PMQM的斜率112222MMMMyyxxyyxx，反解出22222Mkmkkmxk与2222222Mmkmyk，继而发现2MMyxk的关系，最后根据M在直线AB上这一条件，找到M与点,AB的关系，从而确定实数的值.【详解】（1）2212yx渐近线为2yx，由直线AB的斜率为1，点3,0F，得直线AB的方程为yx3，设1122,,,AxyBxy，分别联立32yxyx和32yxyx,可得63,2623,63,2623AB，设线段AB的中点坐标为00,xy，则03x，023y，故线段AB的中点坐标为3,23，（2）设直线PQ的方程为0ykxmk，则2222ykxmxy，解得2222220kxkmxm，22820mk△，∵120xx，∴122202kmxxk，2122202mxxk，∴220k，222121212222242mkxxxxxxk.设点,,MMMxy则112222MMMMyyxxyyxx，整理得1212222Myyxxx，∵1212yykxx，∴1212222Mxxxkxx，解得22222Mkmkkmxk.又∵121222Myyyxx，12122yykxxm，∴1212222Myxxkxxm，∴2222222Mmkmyk，∴2MMyxk.设直线AB的方程为3ykx，33,Axy，44,Bxy，则333332ykxyx，解得332kxk，362kyk，同理求得432kxk，462kyk，∴2342232kxxk，342432kyyk，此时点M的坐标满足，32MMMMykxyxk，解得23423122Mkxxxk，34223122Mkyyyk，∴M为线段AB的中点，即2ABMB，∴实数的值为2.【点睛】圆锥曲线的解题思路：(1)设直线方程，设而不求；(2)联立直线与圆锥曲线方程组，韦达定理表示坐标关系；(3)根据题目条件转化为坐标间的关系式；(4)求解参数或者范围问题；9．已知O为坐标原点，椭圆222210xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点(2,2)D作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA