专题突破卷20立体几何的截面问题（解析版）

专题突破卷20立体几何的截面问题1.作出截面图1．如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面为正方形，122,AAABM为1AA的中点．(1)请在直四棱柱1111ABCDABCD中，画出经过1,,MDB三点的截面并写出作法（无需证明）．(2)求截面的面积．【答案】(1)图形见解析(2)3【分析】（1）取1CC的中点F，连接1BF、1BM、DM、DF，则四边形1DFBM即为所求；（2）依题意可得四边形1DFBM为菱形，连接MF，1DB，求出MF，1DB，即可得解.【详解】（1）取1CC的中点F，连接1BF、1BM、DM、DF，则四边形1DFBM即为过点M、D和1B的平面截直四棱柱1111ABCDABCD所得截面；取1BB的中点E，连接CE、ME，因为M为1AA的中点，1111ABCDABCD为直四棱柱，底面ABCD为正方形，所以//MEAB且MEAB，//ABCD且ABCD，所以//MECD且MECD，所以DCEM为平行四边形，所以//DMCE，又1//CFBE且1CFBE，所以1CFBE为平行四边形，所以1//CEBF，所以1//DMBF，即M、D、1B、F四点共面.（2）在直四棱柱1111ABCDABCD中，122AAAB，M、F分别为1AA、1CC的中点，所以112DFFBMBMD，所以四边形1DFBM为菱形，连接MF，1DB，则1DBMF，又22211126DB，22112MF，所以112632DFBMS.2．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别为11111,,ABBBCD的中点.过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面1CEF平行，写出作法，并说明理由；【答案】答案见解析【分析】利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理即可求解.【详解】取1CC的中点H，连接11,,,ABAGBHGH，截面1BAGH为要求作的截面.理由如下：因为E，F分别为111,ABBB的中点，所以1//ABEF，又1AB平面1,CEFEF平面1CEF，所以1AB//平面1CEF.在正方形1111DCBA中，因为G为11CD的中点，所以11//AEGC，且11AEGC，所以四边形11AECG为平行四边形，所以11//AGEC，同理可证11//ABDC，又1AG平面11,CEFEC平面1CEF，可得1AG//平面1CEF.又111ABAGA，11,ABAG平面1BAG，所以平面1BAG//平面1CEF.连接1DC，因为G为11CD的中点，H为1CC中点，所以1//GHDC，又11//ABDC，则1//GHAB，所以1A，B，H，G四点共面，从而截面1BAGH为要求作的截面.3．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为6，M是11AB的中点，点N在棱1CC上，且12CNNC.作出过点D，M，N的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面，写出作法；【答案】答案见解析【分析】由平面的基本性质作图.【详解】如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.作法如下：连接DN并延长交11DC的延长线于点E，连接ME交11BC于点F，交11DA的延长线于点H，连接DH交1AA于点Q，连接QM，FN，所以五边形DQMFN即为所求截面.4．如图，在正方体1111ABCDABCD，中，H是11BD的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证：(1)证明；F，G，H，B四点共面；(2)平面//EFG平面11BDDB﹔(3)若正方体棱长为1，过A，E，1C三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)画图见解析，截面的面积为62．【分析】（1）连接BH，可得//FGBH，即可证明F，G，H，B四点共面；（2）由面面平行的判定定理即可证明；（3）取11DC的中点N，连接1AN，NE，取11AB的中点M，连接1MC，AM，画出截面1AECM，求解即可.【详解】（1）证明：连接BH，∵FG为CBH的中位线，∴//FGBH，∴F，G，H，B四点共面；（2）由（1）知，//FGBH，∵FG平面11BDDB，BH平面11BDDB，∴//FG平面11BDDB；∵//EFDB，EF平面1BDDB，DB平面11BDDB，∴//EF平面11BDDB，∵EFEGE，EF、EG都在面EFG内，∴平面//EFG平面11BDDB（3）取11DC的中点N，连接1AN，NE，∴1//AEAN，1AEAN，取11AB的中点M，连接1MC，AM，∴11MCAN，11//MCAN，∴截面1AECM为平行四边形，且1151421AEECAMMC，所以截面的面积为1111632222ACME．5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别为11111,,ABBBCD的中点.(1)过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面1CEF平行，写出作法，并说明理由；(2)设,MN分别为棱,ABBC上一点，,MN与B均不重合，且1MNCF，求三棱锥1BBMN体积的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)56【分析】（1）取1CC的中点H，连接11,,,ABAGBHGH，所以截面1BAGH为要求作的截面.通过面面平行的判定进行证明；（2）利用三棱锥的体积公式并结合均值不等式进行求解.【详解】（1）取1CC的中点H，连接11,,,ABAGBHGH，所以截面1BAGH为要求作的截面.理由如下：因为E，F分别为111,ABBB的中点，所以1ABEF∥，又1AB平面1,CEFEF平面1CEF，所以1AB平面1CEF.在正方形1111DCBA中，因为G为11CD的中点，所以11AEGC∥，且11AEGC，所以四边形11AECG为平行四边形，所以11AGEC∥，同理可证11ABDC∥，又1AG平面11,CEFEC平面1CEF，可得1AG平面1CEF.又111ABAGA，11,ABAG平面1BAG，所以平面1BAG平面1CEF.连接1DC，因为G为11CD的中点，H为1CC中点，所以1GHDC∥，又11ABDC∥，则1GHAB∥，所以1A，B，H，G四点共面，从而截面1BAGH为要求作的截面.（2）设,(0,0)BMaBNbab，由15MNCF，得2252abab，则52ab，当仅当102ab时，等号成立.11112323BHGNBBNabVVab，因为52ab，所以三棱琟1BBMN体积的最大值为155326.2.截面的周长及面积问题6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,MN分别为棱111,ADDD的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）A．π6B．π4C．3π8D．π2【答案】C【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点O处，要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q求解.【详解】解：如图，正方体外接球的球心在其中心点O处，球的半径2221311122R，要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q，连接,OMON，则22OMONMN，所以221624OQOMMN，此时截面圆的半径2264rROQ，此时，截面面积的最小值23ππ8Sr.故选：C.7．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点P为线段1AA的中点，若点P平面，且1AC平面，则平面截正方体1111ABCDABCD所得截面的周长为（）A．5B．35C．32D．62【答案】C【分析】记,ABAD的中点分别为E，F，先证三角形PEF即为平面截正方体所得截面，然后可得周长.【详解】记,ABAD的中点分别为E，F，连接11,,,,PEEFFPABAB，由正方体性质可知，11BC平面11AABB，因为1AB平面11AABB，所以111BCAB又11AABB为正方形，所以11ABAB因为1111ABBCB，111,ABBC平面11ABC，所以1AB平面11ABC，因为1AC平面11ABC，所以11ABAC因为P，E分别为1,AAAB的中点，所以1//PEAB，所以1ACPE，同理可证，1ACEF又PEEFE，,PEEF平面PEF所以1AC平面PEF，所以三角形PEF即为平面截正方体所得截面，易知三角形PEF为正三角形，221111222PEABABAA所以截面周长为32.故选：C8．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，P，Q是11CD，11BC的中点，过点A作平面，使得平面//平面BDPQ，则平面截正方体所得截面的面积是（）A．322B．2C．32D．62【答案】C【分析】取11AD中点M，11AB中点N，利用面面平行的判定定理确定平面，利用余弦定理及三角形面积公式求解即可.【详解】如图，取11AD中点M，11AB中点N，连接,,MNAMAN，因为//PQMN，MN平面BDPQ，PQ平面BDPQ，所以//MN平面BDPQ，又//PDAN，AN平面BDPQ，PD平面BDPQ，所以//AN平面BDPQ，又AMANA，AM平面AMN，AN平面AMN，所以平面//PQBD平面AMN，即三角形AMN为所得截面，在AMN中，22115AMANAAAN，2MN，由余弦定理得2225524cos25255AMANMNMANAMAN，所以23sin1cos5MANMAN，所以1133·sin552252MANSAMANMAN.故选：C.9．如图，在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，11AB的中点是P，过点1A作与截面1PBC平行的截面，则该截面的周长为（）A．42B．25C．85D．4【答案】C【分析】分别取11ABCD、的中点FE、，可得四边形1AECF为平行四边形，即为过点1A的截面，求出其周长可得答案.【详解】分别取11ABCD、的中点FE、，连接11、、、、EFFCCEPFAA，可得11//,=PCPFCCFC，可得四边形1PFCC为平行四边形，可得11//,=PCPCFCFC，因为1111//,=PPECAECA，所以四边形11ECPA为平行四边形，可得1111,//=AECAEPCP，所以11//,=AEFCAEFC，所以四边形1AECF为平行四边形，1AFEC，平面1AECF即为过点1A的截面，1PC平面1AECF，1AE平面1AECF，所以1//PC平面1AECF，因为11//,=PFBPFBAA，所以四边形1APBF为平行四边形，可得1//AFPB，PB平面1AECF，1AF平面1AECF，所以//PB平面1AECF，且1PBPCP，1、PBPC平面1PBC，所以平面1//AECF平面1PBC，22111125AEADDE，211225AFAAAF，所以截面1AECF的周长为11285AEAF.故选：C.10．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱111ABCABC-为一“堑堵”，P是1BB的中点，12AAACBC，则在过点P且与直线1AC平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于，该“堑堵”的外接球的表面积为.【答案】33212π【分析】取中点，利用线线平行可得线面平行，进而可得四边形PEFG即为符合要求的等腰梯形．即可由长度关系确定DEF、PDG△、DFG均为等边三角形．由三角形面积即可求解空1，补形为正方体，即可由正方体的外接球求解.【详解】如图，分别取11111,,AAACBC的中点E，F，G，连接FG，EP，EF，PG，则11FGAB∥且11122FGAB．在直三棱柱111ABCABC-中，易知11AABB且11AABB，∵E，P分别为11,AABB