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专题突破卷16求数列的通项公式1.周期数列1.若数列na中,135a,214a,且21nnnaaa(nN),记数列na的前n项积为n,则20232023a的值为.【答案】1【分析】根据数列的周期性,即可求解.【详解】因为135a,214a,且21nnnaaa,所以12nnnaaa,则3512a,453a,54a,6125a,735a,814a,发现数列na是以6为周期的数列,且前6项积为1,则2023135a,1202335aa,所以2023202335135a.故答案为:1.2.函数yfx的部分对应值如下表所示,对于任意*Nn,点1,nnaa都在函数yfx的图象上.已知11a,则2020a的值是.x1234fx3124【答案】1【分析】根据题意求出数列na的周期,再根据数列的周期性即可得解.【详解】因为点1,nnaa都在函数yfx的图象上,所以1nnafa,因为11a,所以213af,3232afaf,4321afaf,所以数列na是以3为周期的周期数列,所以20206733111aaa.故答案为:1.3.已知数列na满足*1113,,N1nnnaaana,则2023a=()A.3B.12C.13D.2【答案】C【分析】根据递推形式求数列的前几项,判断数列是周期数列,再求值.【详解】13a,212a,313a,42a,53a,所以na是周期数列,且周期为4,又202345053,所以2023313aa.故选:C.4.数列na满足1112211,1,2,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa,,则na的前2023项和2023S.【答案】1351【分析】根据已知递推式求出345678,,,,,aaaaaa,则可得na从第3项起以3为周期的周期数列,从而可求得答案【详解】因为1112211,1,2,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa,所以910351467811,1,0,1,1,0,1,1,0aaaaaaaaa,则na从第3项起以3为周期的周期数列,所以2023674231351S.故答案为:13515.数列na满足11a,123nnnaaan,若2121a,则26aa.【答案】43【分析】根据递推式得到na周期为6,进而求得222a、654321aaaa,即可得结果.【详解】由题设12nnnaaa,则122323546nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa,且6n,所以na是周期为6的数列,则6113322321aaaaa,故222a,654434321aaaaaaa,所以2643aa.故答案为:432.累加、累乘法6.数列na中,若13a,11nnnaan,则na.【答案】3n【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得na.【详解】由题意,13a,11nnnaan可得0na,所以11nnanan,所以1211211213312nnnnnaaannaaaaannn.故答案为:3n.7.已知正项数列na满足a1=1,a2=2,a4=64,且221*()Nnnnaakan.(1)求k的值;(2)求数列na的通项公式.【答案】(1)2;(2)(1)22nnna.【分析】(1)运用代入法进行求解即可;(2)通过换元法、等比数列的定义,结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】(1)当1n时,213234aakaak,当2n时,2322412842kkkaaka;(2)因为2k,所以2212nnnaaa,则2112nnnnaaaa,令1nnnaba,所以12nnbb,则nb是等比数列,因为2112aba,2q=,所以112nnnbbq,所以12nnnaa,则12211231nnnnnnnaaaaaaaaaa(1)12212222212.nnnn8.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有1个货物,第二层比第一层多2个,第三层比第二层多3个,以此类推,记第n层货物的个数为na,则使得22nan成立的n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】由题设及累加可得123nana,应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围,即可得结果.【详解】由题意2132123,nnaaaaaan,2n,*Nn且11a,累加可得123nana,所以1122nnnan,∴1222nnn,得4n,即min5n.故选:C.9.已知数列na满足11a,*11nnananN,若x表示不超过x的最大整数,则122023111aaa.【答案】1【分析】根据迭代法可得1,2nnna利用裂项求和结合x的定义即可求解.【详解】由*11nnananN得2n时,12111112221nnnnnanannannann,当1n时,11a也符合,所以1,2nnna1211211nannnn,故1220231111111112121223202320242024aaa,12202311112112024aaa,故答案为:110.已知定义数列1nnaa为数列na的“差数列”,若12,naa的“差数列”的第n项为2n,则数列na的前2023项和2023S()A.202221B.20222C.20242D.202422【答案】D【分析】根据给定条件可得12nnnaa,利用累加法求出数列na的通项,再利用等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意,12nnnaa,当2n时,121321()()()nnnaaaaaaaa211122222(2)2212nnn,而12a满足上式,因此2nna,所以2023122023202420232(122222212)S.故选:D11.已知数列na中,*111,N3nnnaaan.(1)求数列na的通项公式;(2)设232lognnbna,数列1nb的前n项和nS,求证:1nS.【答案】(1)(1)213nnna(2)证明见解析【分析】(1)由1*)3(nnnaanN,得到*11()3nnnanaN,再利用累乘法求解;(2)由(1)易得1111(1)+1nbnnnn,再利用裂项相消法求解.【详解】(1)因为11a,1*)3(nnnaanN,所以*11()3nnnanaN,所以121121nnnnnaaaaaaaa(1)121121211111333331nnnnn当1n时,11a满足条件,所以(1)213nnna;(2)因为232lognnbna(1)nn,所以1111(1)+1nbnnnn,所以111111=1++122311nSnnn,因为101n,所以1nS.3.待定系数法12.已知:11a,2n时,11212nnaan,求na的通项公式.【答案】13462nnan【分析】构造等比数列46nan,即可由等比数列的性质求解.【详解】设1112nnaAnBaAnB,所以111112222nnaaAnAB,∴12,2111,22AAB,解得:46AB,又1463a,∴46nan是以3为首项,12为公比的等比数列,∴114632nnan,∴13462nnan.13.数列na满足1432nnaan且10a,则数列na的通项公式是.【答案】141nna【分析】根据题意构造等比数列,进而求出通项公式即可.【详解】设14nnaa,则143nnaa,又因为1432nnaan,所以33,则1,所以1141nnaa,因为1110a,所以10na,所以1141nnaa为常数,所以1na是首项为1,公比为4的等比数列,所以111144nnna,所以141nna.故答案为:141nna14.已知数列na中,12(1)(1)nnnanann且11a,则数列na的通项公式为.【答案】·21nnan【分析】根据题意,可得1211nnaann,令nnabn,则112(1)nnbb,再结合等比数列的定义求解即可.【详解】∵12(1)(1)nnnanann,等式两侧同除(1)nn,可得1211nnaann,令nnabn,则121nnbb,∴112(1)nnbb,又111120ba,∴1nb是以2为首项,2为公比的等比数列,∴11222nnnb,即21nnb,∴21nnan,即·21nnan.故答案为:·21nnan.15.已知数列na中,11a,146nnaa,则2023a()A.202342B.202342C.202242D.202242【答案】C【分析】根据给定的递推公式,构造等比数列并求出通项作答.【详解】由146nnaa,得14(2)2nnaa,而121a,因此数列2na是首项为1,公比为4的等比数列,则1214nna,即142nna,所以2022202342a.故选:C16.已知数列{}na满足11243nnnaa,11a,求数列na的通项公式.【答案】114332nnna【分析】解法一:利用待定系数法可得1143243nnnnaa,即可得到143nna是首项为3,公比为2的等比数列,从而求出其通项公式;解法二:两边同时除以13n得112243333nnnnaa,再利用构造法计算可得;【详解】解法一:因为11243nnnaa,设1123(3nnnnaa),所以11122223333nnnnnnaaa,则22234,解得242,即1143243nnnnaa,则数列143nna是首项为111433a,公比为2的等比数列,所以114332nnna,即114332nnna;解法二:因为
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