2015年高考上海理科数学试题及答案解析

12015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2015年上海，理1】设全集UR，若集合1,2,3,4,|23ABxx，则UABð．【答案】1,4【解析】根据题意，可得|32UBxxx或ð，故1,4UABð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数z满足31izz，其中i为虚数单位，则z．【答案】11i42【解析】设i,zxyxyR，根据题意，有izxy，可把31izz化简成33ii1ixyxy，对于系数相等可得出11,42xy，11i42z．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为35xy，则12cc．【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230xycyc把35xy代入，可得1221,5cc，1216cc．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．（4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a．【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式3133=1634224VhSaaaaa底．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．（5）【2015年上海，理5】抛物线220ypxp上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min1,22pQPp．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3【解析】设这个圆锥的母线长为'h，底面半径为r，母线与轴的夹角为，所以'1=2Slh侧，而过轴的截面是一个三角形，故122Srh轴，有2'2hhr，所以'122122lhSSrh侧轴，2'2''222,,3hhhhhrr，'3sin,23rh．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程1122log95log322xx的解为．【答案】2【解析】由条件可得111195032095432xxxx2111134330,33310xxxx，1133,2,31,1xxxx，所以1x或2x，检验后只有2x符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．（8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为．（结果用数值表示）【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120CCCCCC．解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．（9）【2015年上海，理9】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C，若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为．【答案】32yx【解析】设点P和Q的坐标为,xy、00,xy，则有002xxyy，又因为1C的渐近线方程为3yx，故设1C的方程为223xy，把P点坐标代入，可得220034xy，令0，320xy即为曲线2C的渐近线方程，即32yx．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设1fx为22,0,22xxfxx的反函数，则1yfxfx的最大值为．【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数222xxfx在定义域0,2上是单调递增的，且值域为124，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得1fx的定义域为124，，值域为0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124，，故1maxmaxmax224yff．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在10201511xx的展开式中，2x项的系数为．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511xx中要得到2x项的系数，肯定不能含有20151x项，故只有010100102015111Cxxx，3而对于101x，2x项的系数为28210145Cx．【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．（12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1和2分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12EE．（元）【答案】0.2【解析】由题可知，222222255544332211.4,2.8,4.2,5.610101010PPPPCCC，所以，1和2的分布列分别为：112345P1515151515121123453,1.40.42.80.34.20.25.60.12.85EE，即有120.2EE．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．（13）【2015年上海，理13】已知函数sinfxx，若12,,,mxxx存在满足1206mxxx，且*12231122,mmfxfxfxfxfxfxmmN，则m的最小值为．【答案】8【解析】对任意的,ijxx，maxmin2ijfxfxfxfx，欲使m取最小值，尽可能多的让1,2,,ixim取最值点，考虑到1206mxxx，*12231122,mmfxfxfxfxfxfxmmN，按照右图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键．（14）【2015年上海，理14】在锐角ABC中，1tan2A，D为BC边上的一点，ABD与ACD面积分别为2和4，过D作DEAB于E，DFAC于F，则DEDF．【答案】1615【解析】由题可知，coscosEDFA，122ABDSABDE，142ACDSACDF，1sin62ABCSABACA，所以4DEAB，8DFAC，12sinABACA4832coscoscosDEDFDEDFEDFAAABACABAC，化简可得28442tan16sincossin23331tan15ADEDFAAAA．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2015年上海，理15】设12,zzC，则“12,zz中至少有一个数是虚数”是“12zz是虚数”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如11iz，22iz，121zz不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,zz全不是虚数，即12,zz均为实数，则12zz比为实数，所以12zz是虚数，则12,zz中至少有一个数是虚数，故选B．21.42.84.25.6P4103102101104【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．（16）【2015年上海，理16】已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针转3至OB，则B的纵坐标为（）（A）332（B）532（C）112（D）132【答案】D【解析】以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设,A，则,3B，且sin1，cos43，B的纵坐标为：131313sinsincos43322222，故选D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．（17）【2015年上海，理17】记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中123,,aaa是正实数．当123,,aaa成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）（A）方程①有实根，且②有实根（B）方程①有实根，且②无实根（C）方程①无实根，且②有实根（D）方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a，又2114a，2228a，当123,,aaa成等比数列时，2213aaa，即有2231aaa，由30得22223116160aaa，即422116aa，当方程①有实根，且②无实根时，214a，228a，可以推出42216416416aa，故选B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．（18）【2015年上海，理18】设,nnnPxy是直线*21nxynNn与圆222xy在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx（）（A）1（B）12（C）1（D）2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n时，直线*21nxynNn趋向于21xy，直线与圆的交点趋向于1,1P，1lim1nnnyx可以理解为过点1,1P所作的圆的切线的斜率k，设切线方程为11ykx，结合dr，即2121kk，解之1k，即1lim11nnnyx，故选A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCDAB