9.3 双曲线（精讲）（学生版）

9.3双曲线（精讲）一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.二．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.四．直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．2.弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2.一．求标准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解．3.常用设法：①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3.双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由x2a2－y2b2＝0即得两渐近线方程xa±yb＝0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax(a＞0，b＞0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±bax的斜率k与离心率e的关系：e＝1＋ba2＝1＋k2.三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线221412xy上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是（）A．4B．12C．4或12D．不确定【例1-2】（2023·广东潮州）已知1F，2F分别为双曲线22154xy的左、右焦点，3,1P为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则2APAF的最小值为（）A．374B．374C．3725D．3725【例1-3】（2023·江苏）设点P在双曲线221916xy上，12,FF为双曲线的两个焦点，且12:1:3PFPF，则12FPF△的周长等于，12cosFPF．【一隅三反】1．（2023·江苏）（多选）设12,FF分别是双曲线2219yx的左、右焦点，若点P在双曲线上，且15PF，则2PF（）A．5B．3C．7D．62．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知F是双曲线221169xy的左焦点，4,4,AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为.【答案】8173．（2023·全国·课堂例题）P为双曲线22115yx右支上一点，M，N分别是圆2244xy和2241xy上的点，则PMPN的最大值为.考点二双曲线的标准方程【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点124,0,4,0FF，曲线上的动点P到12,FF的距离之差为6，则曲线方程为（）A．221097xyxB．22197xyC．221097yxyD．22197yx【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点3,2A，则的标准方程为（）A．22155xyB．22155yxC．221yxD．221xy【例2-3】（2023·江苏）下列选项中的曲线与2211224xy共焦点的双曲线是（）A．2222412xyB．222412yx1C．222610yx1D．221026xy1【一隅三反】（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)4a，经过点13,410A；(2)与双曲线22164xy1有相同的焦点，且经过点32,2；(3)过点P3,154，Q1653,且焦点在坐标轴上．(4)两个焦点的坐标分别是5,0,5,0,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(5)焦点在x轴上，经过点4,2P和点26,22Q．(6)虚轴长为12，离心率为54；(7)焦点在x轴上，离心率为2，且过点5,3；(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.(9)以直线230xy为渐近线，过点1,2；(10)与椭圆2212516xy有公共焦点，离心率为32.考点三离心率与渐近线【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线222:16xyCa的焦距为43，则C的渐近线方程是（）A．yxB．3yxC．33yxD．77yx【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线C：222210,0xyabab的左､右焦点分别是1F，2F，P是双曲线C上的一点，且15PF，23PF，12120FPF，则双曲线C的离心率是（）A．75B．74C．73D．72【例3-3】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b），斜率为3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）A．312B．31C．231D．232【一隅三反】1．（2023·广西桂林）双曲线22149xy的渐近线方程是（）A．32yxB．23yxC．94yxD．49yx2．（2023春·新疆巴音郭楞）设1F、2F分别是双曲线22:1yCxb的左、右焦点，过2F作x轴的垂线与C相交于A、B两点，若1ABF为正三角形，则C的离心率为（）A．2B．63C．22D．33．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知F是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点，0,6Pa，直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．6考点四直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2023湖南）已知双曲线224xy，直线:(1)lykx，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:lykx与双曲线22:194xyC有两个不同的交点，则k的取值可以是（）A．23B．33C．1D．32．（2023·重庆·统考二模）已知点1,2P和双曲线22:14yCx，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数条3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线22:1412xyC的右焦点为F，点(0,)Am，若直线AF与C只有一个交点，则m（）A．2B．43C．23D．44（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点0,1且与双曲线22149xy有且只有一个公共点的直线有（）条．A．0B．2C．3D．4考点五弦长与中点弦【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线224xy的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长AB．【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线222xy的左焦点作直线l，与双曲线交于,AB两点，若AB4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【例5-3】（2023·福建）已知双曲线2213yx过(2,1)P点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（）A．3B．4C．5D．6【一隅三反】1．（2023·安徽）过点2,1P的直线l与双曲线2213yx相交于,AB两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是（）A．6110xyB．6130xyC．2310xyD．3240xy2．（2023春·河南周口）过点2,1M作斜率为1的直线，交双曲线222210,0yxabab于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（）A．62B．3C．22D．23．（2023河北）经过点2,2M作直线l交双曲线2214yx于,AB两点，且M为AB中点．(1)求直线l的方程．(2)求线段AB的长．考点六直线与双曲线的综合运用【例6】（2023秋·安徽）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的离心率为2，4,6P在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且PMPN，求证：直线l过定点.【一隅三反】1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为30xy，虚轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线:2lykx与双曲线C交于B，D两点，点D关于x轴的对称点为点A，求证：直线AB恒过定点.2．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为20xy，且经过点53,2．(1)求双曲线C的方程；(2)点P在直线1x上，1A、2A分别为双曲线C的左、右顶点，直线1PA、2PA分别与双曲线C交于M、N两点．求证：直线MN过定点．