9.5 三定问题及最值（精练）（学生版）

9.5三定问题及最值（精练）1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，||4AC．(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线2y交于点N．求证：//MNCD．2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．3．（2006·湖南·高考真题）已知221:143xyC，抛物线22:()2(0)Cympxp，且12CC、的公共弦AB过椭圆1C的右焦点．(1)当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上；(2)是否存在m、p的值，使抛物线2C的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点分别为12,FF，左、右顶点分别为12,AA，2F是2OA（O为坐标原点）的中点，且12222FFAF.(1)求E的方程；(2)不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于,AB两点（,AB异于椭圆E的顶点），直线12,AABA与y轴的交点分别为,MN，若222233ANAOAOAM，证明：直线l过定点，并求该定点的坐标.5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆1O：22114xy，圆2O：224914xy，圆M与圆1O外切，且与圆2O内切．(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点，OQOAOB，则当AOB的面积最大时，求22的值．6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆222210xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点(2,2)D作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为1k、2k，求12kk的值．7．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C：222210xyabab的离心率12e，短轴长为23．(1)求椭圆C的方程；(2)已知经过定点1,1P的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线34yx相交于点Q，如果AQAP，QBPB，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．8．（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C：222210xyabab的焦距为4，左右顶点分别为1A，2A，椭圆上异于1A，2A的任意一点P，都满足直线1PA，2PA的斜率之积为12．(1)若椭圆上存在两点1B，2B关于直线yxm对称，求实数m的取值范围；(2)过右焦点2F的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得21kMNOQ为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．9（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆222:103xyCaba的左、右顶点分别为1M、2M，T为椭圆上异于1M、2M的动点，设直线1TM、2TM的斜率分别为1k、2k，且1234kk.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若0OAOB，OAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.10．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为1F，2F，离心率为22，点(2,1)M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，122kk．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得TH为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦3PQAF．(1)求APQ△的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于,MN，交PQ于点R，且满足MRNDMDRN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知O为坐标原点，定点11,0F，21,0F，圆22:2Oxy，M是圆内或圆上一动点，圆O与以线段2FM为直径的圆1O内切.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点2F作直线l的垂线，垂足为N，证明：ON为定值.12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C：222150xyx上一动点，点1,0N，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆223xy上，且M在第一象限，过点M作圆223xy的切线交Q点轨迹于A，B两点，问ABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.13．（2023·北京密云·统考三模）椭圆C：222210xyabab的离心率为22，且过点2,1A.(1)求椭圆C的方程和长轴长；(2)点M，N在C上，且AMAN.证明：直线MN过定点.14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab与直线:lykx相交于,AB两点，椭圆上一动点M，满足14MAMBkk（其中k表示两点连线的斜率），且12,FF为椭圆C的左、右焦点，12MFF△面积的最大值为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2F的直线l交椭圆C于,PQ两点，求1FPQ的内切圆面积的最大值．15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab过点22,0A，点B与A关于原点对称，椭圆C上的点H满足直线HA与直线HB的斜率之积为14.(1)求椭圆C的方程；(2)直线1:2lyxt与椭圆C相交于,MN两点，已知点2,1P，点Q与M关于原点对称，讨论：直线PQ的斜率与直线PN的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线C上的动点P满足12||||2PFPF，且122,0,2,0FF.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点4,0M；②点P在定直线14x上.17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知点(2,3)在双曲线2222:12xyCaa上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于,AB两点，其中O为坐标原点，求证：AOB的面积S是定值；(2)已知点1(,1)2P，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMMHPNHN，证明：点H恒在一条定直线上．18（2023·山西阳泉·统考二模）已知双曲线2222:10,0xyCabab经过点4,3D，直线1l、2l分别是双曲线C的渐近线，过D分别作1l和2l的平行线1l¢和2l，直线1l¢交x轴于点M，直线2l交y轴于点N，且23OMON（O是坐标原点）(1)求双曲线C的方程；(2)设1A、2A分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点F的直线交双曲线C于P、Q两个不同点，直线1AP与2AQ相交于点G，证明：点G在定直线上.19．（2023·四川成都·校联考二模）已知13,0A和23,0A是椭圆2222:1(0)xyabab的左、右顶点，直线l与椭圆相交于M，N两点，直线l不经过坐标原点O，且不与坐标轴平行，直线1AM与直线2AM的斜率之积为59．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为S，直线1AS与直线2AN相交于点P，直线PO与直线l相交于点Q，证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程．20．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，P为双曲线右支上的一点，I为12PFF的内心，且1222IFIFPI.(1)求C的离心率；(2)设点11,Txy为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线1TF与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为1,0D，直线TD，SD分别与圆O：221xy相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线MN是否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线210xy与抛物线2:2(0)Cypxp交于,AB两点，且||415AB．(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，0FMFN，求MFN△面积的最小值．22．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆22221(0)xyabab的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1AFAF．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2AFP面积的二倍，求直线2AP的方程．23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.24（2022·天津·统考高考真题）椭圆222210xyabab的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足32BFAB．(1)求椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程．25．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.26．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点,0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF．(1)求C的方程；(2)设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．27．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan22PAQ，求PAQ△的面积．