3.1 函数的概念及其表示（精讲）（学生版）

3.1函数的概念及其表示（精讲）一．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．二．函数的三要素1.定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3.解析式三．函数的表示法常用方法有解析法、图象法和列表法四．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．五．分段函数1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．一．函数概念的理解(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．二．常见函数定义域的类型1.分式型：1f（x）要满足f(x)≠0（分式中分母不为零）2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即2nf（x）(n∈N*)要满足f(x)≥0；3.幂函数型：[f(x)]0要满足f(x)≠0；4.对数型：logaf(x)(a0，且a≠1)要满足f(x)0；5.正切型：tan[f(x)]要满足f(x)≠π2＋kπ，k∈Z．注意事项：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．二．抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围）1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；2.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．三．函数解析式的求法1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．3.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．4.解方程组：已知关于f(x)与f1x或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．四．值域1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y=）或分子分母最高次是二次关系（形如）(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.①→分离常数→反比例函数模型②→分离常数→模型③→同时除以分子：→②的模型④→分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数2.配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围3.不等式法4.单调性法：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.5.换元法①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可axbcxd2axbxeycxdca,axbycxd2axbxcydxeayxx2dxeyaxbxc21yaxbxcdxe22axbxcydxexf2(0)yaxbxca)(xf],[ba)(af)(bf)(xf],[ba,log,sinfxayayfxyfx先确定的范围，再求出函数的范围.②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.③形如型,可用此法求其值域.6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.7.导数法．利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域五．分段函数1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．考法一函数的概念【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（）A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函数()fx图象的是（）A．B．C．D．fx,log,sinxayfayfxyfxyftyaxbcxd【一隅三反】1．（2022·上海）下列等量关系中，y是x的函数的是（）A．221xyB．2||yxC．2yxD．22yx2．（2022北京）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（）A．B．C．D．3．（2023·广东深圳）（多选）下列是函数图象的是（）A．B．C．D．考法二函数的定义域【例2-1】（1）（2023·河北）函数2()2log(1)fxxx的定义域是（）A．1,B．2,C．1,2D．2,（2）（2023·上海）函数1()xfxx的定义域是__．【例2-2】（1）（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知函数yfx的定义域是2,3，则函数21yfx的定义域是（）A．5,5B．1,22C．2,3D．1,22（2）（2023·江西）若函数(1)fx的定义域为[2,3]，则函数(24)fx的定义域为（）A．1,32B．[8,2]C．[1,4]D．[6,4]【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函数1yax的定义域为A，且3A，则a的取值范围是_______．（2）（2022秋·海南）若函数21fxaxax的定义域为R，则a的范围是__________.（3）（2023·河南）当1,2x时，函数1()2lnfxaxx和22()log2(23)2gxxax有意义，则实数a的取值范围是___________.【一隅三反】1．（2023·河北）函数3lnxyx的定义域为（）A．0,3B．0,11,3C．0,3D．0,11,32．（2022秋·四川）已知(21)yfx定义域为1,3，则(1)yfx的定义域为（）A．2,6B．0,1C．1,2D．1,33．（2023·陕西）已知函数21xfxx，则函数()(1)gxfx的定义域为（）A．(2,1]B．[2,1)C．(1,2]D．[1,2)4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的定义域为8,1，则函数212fxgxx的定义域（）A．9,22,02UB．8,22,1UC．,22,3D．9,225．（2023·河北）函数22yaxx的定义域为2,1，则实数a的值为______．6.（2023·吉林）若函数23log4fxaxax的定义域为R，则a的取值范围是______．7．（2023·黑龙江）“04a”是“函数211fxaxax的定义域为R”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考法三函数的解析式【例3】（2023·广东潮州）（1）已知fx是一次函数，且满足3121217fxfxx，求fx_____．（2）已知22143fxx，则fx（3）已知函数()fx在定义域R上单调，且(0,)x时均有(()2)1ffxx，则(x)f=（4）已知函数()fx的定义域为R，且2()2()fxfxxx，则()fx（5）已知242411fxxxx，则fx__________.【一隅三反】1．（2023云南）定义在R上的函数()fx单调递增，且对xR，有()23xffx，则4log3f____.2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x－1x)＝x2＋21x，则f（x+1x）＝________.3．（2022·全国·高三专题练习）设(sincos)sincosfaaaa若1()2fm，则m_________.4．（2023新疆）已知3311()fxxxx，则fx=_____.5．（2023·北京）求下列函数的解析式：(1)已知21sincosfxx，求fx的解析式；(2)已知2112fxxxx，求fx的解析式；(3)已知fx是一次函数且3121217fxfxx，求fx的解析式；(4)已知fx满足23fxfxx，求fx的解析式.考法四函数的值域【例4】（1）（2023·上海）函数222,1,2yxxx的值域为__________（2）（2023·云南）函数1yxx的值域为____________（3）（2023·全国·高三专题练习）函数5142xyx的值域为__________（4）（2023北京）函数2815()34xfxxx的值域为（5）（2023·全国·高三专题练习）函数sin2cos2xyx的值域为_____（6）（2023·全国·高三专题练习）函数y＝32x－42x的最小值为【一隅三反】（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1）34xyx；（2）25243yxx；（3）12yxx；（4）22436xxyxx；（5）2432yxx；（6）12yxx；（7）35yxx；（8）265yxx（9）312xyx；（10）2211()212xxyxx.考法五判断两个函数是否相等【例5】（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）．A．2lgfxx，2lggxxB．1lg1xfxx，lg1lg1gxxxC．11ufuu，11vgvvD．2fxx，2gxx【一隅三反】1．（2023·上海）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．2()||,()fxxgxxB．22(),()()fxxgxxC．21(),()11xfxgxxxD．2()22,()4fxxxgxx2．（2023·江西）下列各组函数表示同一函数的是（）A．2fxx，2gxxB．1fx，0gxxC．,0,0xxfxxx，gttD．1fxx，211xgxx3．（2023·内蒙古）下列各组函数是同一函数的是（）A．xyx与1yB．2(1)yx与1yxC．2xyx与yxD．321xxyx与yx4．（2022·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．2()xxfxx，1gxxB．2()fxx，2()gxxC．()22fxx=-，22gtt＝－D．11fxxx，2