2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（学生版）

2.1不等式的性质及一元二次不等式（精讲）一．两个实数比较大小的方法1.作差法①a－b0⇔ab；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b0⇔ab．2.作商法①ab1(a∈R，b0)⇔ab(a∈R，b0)；②ab＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)③ab1(a∈R，b0)⇔ab(a∈R，b0)．二．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.三．不等式的性质性质1对称性：ab⇔ba；性质2传递性：ab，bc⇒ac；性质3可加性：ab⇔a＋cb＋c；性质4可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；性质5同向可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d；性质6同向同正可乘性：ab0，cd0⇒acbd；性质7同正可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．四．一元二次不等式1.概念：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1，或xx2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅五．分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.六．简单的绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|a(a0)的解集为(－a，a)．七．常用结论1.倒数性质的几个必备结论(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b(2)a＜0＜b⇒1a＜1b(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒ac＞bd(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a．2．两个重要不等式若a＞b＞0，m＞0，则：(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．一．比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．二．判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．三．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．四．恒成立问题求参数的范围1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：（1）在R上恒成立；（2）在给定区间上恒成立；（3）给定参数范围的恒成立．处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法．2.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔a＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔a＜0，Δ＜0.注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．3.给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)函数法：若f(x)0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a．4.给定参数范围的恒成立问题解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．五．一元二次方程根的分布设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．（1）两根与0的大小比较即根的正负情况分布情况两个负根即两根都小于0(x10，x20)两个正根即两根都大于0(x10，x20)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x10x2)大致图象(a0)得出的结论Δ0，－b2a0，f（0）0Δ0，－b2a0，f（0）0f(0)0大致图象(a0)得出的结论Δ0，－b2a0，f（0）0Δ0，－b2a0，f（0）0f(0)0综合结论(不讨论a)Δ0，－b2a0，a·f（0）0Δ0，－b2a0，a·f（0）0a·f(0)0（2）两根与k的大小比较分布情况两根都小于k即x1k，x2k两根都大于k即x1k，x2k一个根小于k，一个根大于k即x1kx2大致图象(a0)得出的结论Δ0，－b2ak，f（k）0Δ0，－b2ak，f（k）0f(k)0大致图象(a0)得出的结论Δ0，－b2ak，f（k）0Δ0，－b2ak，f（k）0f(k)0综合结论(不讨论a)Δ0，－b2ak，a·f（k）0Δ0，－b2ak，a·f（k）0a·f(k)0（3）根在区间上的分布分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，mnpq两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1m，x2n大致图象(a0)得出的结论Δ0，f（m）0，f（n）0，m－b2anf(m)·f(n)0f（m）0，f（n）0，f（p）0，f（q）0或f（m）f（n）0，f（p）f（q）0f（m）0，f（n）0；大致图象(a0)得出的结论Δ0，f（m）0，f（n）0，m－b2anf(m)·f(n)0f（m）0，f（n）0，f（p）0，f（q）0或f（m）f（n）0，f（p）f（q）0f（m）0，f（n）0.综合结论(不讨论a)__________f(m)·f(n)0f（m）f（n）0，f（p）f（q）0考法一比较大小【例1-1】（2023浙江嘉兴）（多选）若实数,ab满足0ab，则（）A．11abB．22lnlnabC．aabbD．11abba【例1-2】（2023·云南）设3ln2,log2ab，则（）A．abababB．abababC．abababD．ababab【一隅三反】1．（2023北京）已知：2610ab，则3，ab，ab的大小关系是A．3ababB．3ababC．3ababD．3abab2．（2023贵州贵阳）设1a，且实数,,xyz满足2351235xyzaaa，则（）A．xyzB．zxyC．yzxD．yxz3（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）（多选）下列大小关系正确的有（）A．2.1222.1B．3.9223.9C．1ln2ln22D．58log3log5考法二不等式的性质【例2】．（2023·吉林·统考三模）已知110ba，则下列不等式不一定成立的是（）A．abB．2baabC．11ababD．ln0ba【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（）A．若22acbc，则abB．若ccab，则abC．若0ab，0cb，则acD．若0a，0b，0m，且ab，则amabmb2（2023·北京朝阳·统考一模）若0ab，则（）A．33abB．abC．11abD．ln0ab3．（2023·江苏）已知ab，则（）A．33abB．33abC．33abD．22ab考法三代数式范围【例3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知0,1,2,4abab，则42ab的取值范围是（）A．1,5B．2,7C．1,6D．0,9【一隅三反】1．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知31ba，37ab，则5ab的取值范围为（）A．15,31B．14,35C．12,30D．11,272．（2022秋·云南昆明·高三云南省昆明市第五中学校考开学考试）（多选）已知12a，35b，则（）A．ab的取值范围为4,7B．ba的取值范围为2,3C．ab的取值范围为3,10D．ab的取值范围为12,35考法四不含参一元二次不等式解法【例4】（2023·云南）解一元二次不等式：(1)24410xx；(2)2230xx.(3)231xxx；(4)22222xxx.【一隅三反】（2023·新疆）解下列不等式：(1)2430xx；(2)294604xx(3)2210xx(4)20252xx(5)2560xx；(6)22530xx；(7)2690xx；(8)210xx．(9)24210xx；(10)21221xx．考法五含参数一元二次不等式的解法【例5-1】（2023·河北唐山）（多选）已知关于x的不等式20axbxc的解集为113xx，则下列结论正确的是（）A．0aB．0cC．0abD．关于x的不等式20cxbxa的解集为31xx【例5-2】（2023春·湖北武汉）已知Ra，解关于x的不等式2330axax．【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式22100axaxa．【一隅三反】1．（2023·河南郑州）（多选）已知关于x的不等式20axbxc解集为{3xx∣或4}x，则下列结论正确的有（）A．0aB．不等式0bxc的解集为{6}xx∣C．0abcD．不等式20cxbxa的解集为14xx∣或13x2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式22210axax．3．（2023上海宝山）（1）解关于x的不等式2(21)20axax；（2）若关于x的不等式20axbxc的解集为(4,7)，求关于x的不等式20cxbxa的解集.考法六分式与绝对值不等式的解法【例6-1】（2023·浙江金华·模拟预测）若集合210,log12xAxBxxx∣∣，则AB（）A．[1,2]B．(1,2)C．[0,2]D．(0,2)【例6-2】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合312xMxx，12Nxx，则MN（）A．1,3B．1,2C．1,2D．2,3【一隅三反】1．（2022·全国·