重难点11空间角与探索性问题（2种考法）（原卷版）

重难点11空间角与探索性问题（2种考法）【目录】考法1：空间角问题考法2：探索性问题1.求异面直线所成的角的三步曲2.求直线和平面所成角的关键作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。3.找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．5.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)二、命题规律与备考策略6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法解题。考法1：空间角问题一．解答题（共15小题）1．（2023•蓬莱区三模）如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2．（1）证明：DE⊥平面ACD；（2）若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是，求异面直线DE与AB所成角的余弦值．三、题型方法2．（2023•青羊区校级模拟）如图：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAV＝90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．3．（2023•盐湖区校级二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，．（1）证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的余弦值．4．（2023•碑林区校级模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．5．（2023•全国模拟）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC＝AB＝4，BC＝2．（1）证明：BC⊥AD；（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥ABCD的外接球表面积为20π，求二面角E﹣CO﹣B的余弦值．6．（2023•泉州模拟）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，CA1＝4，CB1＝2，∠BAA1＝60°．（1）证明：CA＝CB；（2）若CA＝4，求二面角A1﹣CB1﹣C1的余弦值．7．（2023•哈尔滨一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．8．（2023•天津一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ＝3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．（1）求证：EF∥平面PADQ；（2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；（3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．9．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AC＝6，E，F为棱PC的三等分点．（1）求异面直线AE，BF夹角的余弦值；（2）求三棱锥A﹣BEF的体积．10．（2023•江苏模拟）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，平面A1B1BA⊥平面ABC，二面角B1﹣BC﹣A的大小为45°，AB＝2，BC＝A1B1＝AA1＝1．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求异而直线BA1与CB1所成角的余弦值．11．（2023•南通模拟）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AB1＝AA1＝AC＝2，∠BAC＝120°，线段A1B1的中点为M，且BC⊥AM．（1）求AA1与BC所成角的余弦值；（2）若线段B1C1的中点为P，求二面角P﹣AB1﹣A1的余弦值．12．（2023•日照三模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，侧面ABB1A1是正方形，且平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为为线段A1C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小．13．（2023•四川模拟）已知棱锥P﹣ABCDE的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，△ADE为等腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．（1）在线段PB上找一点G，使得平面GAC∥平面PDE，并说明理由；（2）在（1）的条件下，二面角B﹣DE﹣P为120°，求CG与平面PAC所成角的正弦值．14．（2023•山西模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中．平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，AS＝DS，点E，F分别为AS，CD的中点．（1）证明：BE∥平面SCD；（2）若AB＝1，，求二面角C﹣AS﹣F的余弦值．15．（2023•乙卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，AD＝DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．（1）证明：EF∥平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．考法2：探索性问题一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台1111ABCDABCD的体积为2823，其中1124ABAB.(1)求侧棱1AA与底面ABCD所成的角；(2)在线段1CC上是否存在一点P，使得1BPAD？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知PABC，PBAC，点P在底面ABC的射影为点H，则(1)证明：PCAB(2)设2PHHAHBHC，则在线段PC上是否存在一点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为45，若存在，设CMCP，求出的值，若不存在，请说明理由.3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在梯形ABCD中，90ADCBCD，222ADBCCD，E为AD的中点，将DEC沿EC折起至PEC的位置，且1PB.(1)求证：平面PAE平面PBC；(2)判断在线段AP上是否存在点Q，使得直线BQ与平面PEC成角的正弦值为36.若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.4．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在ABC中，90B??，P为AB边上一动点，//PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA.(1)证明：平面CBA平面PBA；(2)若24PBCBPD，且APAP，线段AC上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角EBDC的余弦值为31414，若存在求出AEEC的值，若不存在请说明理由.5．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图1，菱形ABCD的边长为23，π3ABC，将ABD△沿BD向上翻折，得到如图2所示得三棱锥ABCD.(1)证明：ACBD；(2)若3AC，在线段BD上是否存在点G，使得平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为217？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由.6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面ABCD为梯形的多面体中.ABCD∥，BC⊥CD，222ABCD，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．7．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，60BDPCABC，，四边形ABCD是菱形，22PBABPAE，是棱PD上的动点，且PEPD．(1)证明:PA平面ABCD．(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是21919?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台1111ABCDABCD中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124ABAB，,EF分别为,DCBC的中点，上下底面中心的连线1OO垂直于上下底面，且1OO与侧棱所在直线所成的角为45.(1)求证：1BD∥平面1CEF；(2)求点1A到平面1CEF的距离；(3)边BC上是否存在点M，使得直线1AM与平面1CEF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由9．（2023·天津·校联考一模）已知底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，//PADQ，33PAADDQ，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．(1)求证：//EF平面PADQ；(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由．10．（2023·河北保定·统考一模）如图，平行六面体1111ABCDABCD的所有棱长均为2，底面ABCD为正方形，11π3AABAAD，点E为1BB的中点，点F为1CC的中点，动点P在平面ABCD内．(1)若O为AC中点，求证：1AOAO；(2)若//FP平面1DAE，求线段CP长度的最小值．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABDC，1DCADPD，2AB，E为线段PA上一点，点F在边AB上且CFBD.(1)若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；(2)在线段PA上是否存在点E，使得EF与平面PFC所成角的余弦值是63？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.12．（2023·山东济宁·统考二模）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中2,DGDEDF．(1)证明：平面AEF平面ABCD;(2)判断上底面圆周上是否存在点P，使得二面角PEFA的余弦值为45．若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由．13．（2023·山东泰安·统考二模）如图，在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BDPA，2BC，1AC.(1)求证：AC平面PBC；(2)在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为π3，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．14．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱111ABCABC-中，ABAC，2ABAC，侧面11AACC为矩形，12π3AAB，三棱锥1CABC的体积为233．(1)求侧棱1AA的长；(2)侧棱1CC上是否存在点E，使得直线AE与平面1ABC所成角的正弦值为55？若存在，求出线段1CE的长；若不存在，请说明理由．