重难点09球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法）（原卷版）

重难点09球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法）【目录】考法1：正方体（或长方体）的切、接球考法2：柱体的切、接球考法3：锥体的切、接球考法4：台体的切、接球考法5：截面问题考法6：翻折问题一、外接球题型归类：（1）三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体2222a+b+cR（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：①三棱锥对棱相等．22222222mnlRabc，m，n，l是三个对棱棱长．②等边三角形与等腰直角三角形连接．③投影为矩形．（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）．二、命题规律与备考策略计算公式222PCRr；其中2sinCDrA（4）面面垂直型一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型（5）垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合．二、求多面体的外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.三、立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考法1：正方体（或长方体）的切、接球1．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P为线段1CC上一点（不包括端点），点Q为1DB上的动点，下列结论成立的有（）A．过1ADP的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形B．QAQD的最小值为3C．当点P为线段1CC中点时，三棱锥1PBDD的外接球的半径为526D．,PQ两点间的最短距离为22考法2：柱体的切、接球2．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长，其外接球的表面积为20π，D是B1C1的中点，点P是线段A1D上的动点，过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥A﹣BCE的体积的最大值为（）A．B．C．D．考法3：锥体的切、接球3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]4．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．5．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A．B．C．D．6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知正四棱锥PABCD的各顶点都在球O的球面上，2AB，由,,ABO三点确定的平面与侧棱PC交于点E，且23PEEC，则球O的表面积为（）A．9πB．12πC．15πD．18π7．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球O内，则球O三、题型方法的体积的最小值为（）A．125π48B．25π16C．25π4D．5π28．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥PABD中，,,ABADPBPDABD的面积为8，则三棱锥PABD外接球的表面积的最小值为（）A．32πB．18πC．16πD．64π9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥DABC中，2ABBC，90ADC，二面角DACB的平面角为30，则三棱锥DABC外接球表面积的最小值为（）A．16231B．16233C．16231D．1623310．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球1O，2O，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球1O，2O相切于点E，F.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，E，F为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球1O，2O的半径分别为6和3，球心距离1211OO，则此椭圆的长轴长为.11．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）在棱长为6的正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为CD，11BC的中点，则三棱锥1MAAN外接球的表面积为．12．（多选）（2023·湖北武汉·华中师大一附中模拟）正四棱柱1111ABCDABCD，底面边长为22，侧棱长为2，则下列结论正确的（）A．点1A到平面11BCD的距离是2．B．四棱锥1DABCD内切球的表面积为8322π．C．平面1BCD与平面11BCD垂直．D．点,MN为线段AC上的两点，且14AMCNAC，点P为面1111DCBA内的点，若2PMPN，则点P的轨迹长为π．考法4：台体的切、接球13．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π14．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）圆台上底半径为23，下底半径为4，此圆台内接于表面积为64π的球，点P是上底面圆周上一动点，点P在下底面上的射影为1P，在下底面上过1P点的直线交底面圆周于点,MN，点Q是下底面圆周上一动点，则三棱锥PMNQ体积的最大值为．考法5：截面问题15．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱13AA，E是BC的中点，F是棱1CC上的点，且113CFCC，过1A作平面，使得平面//平面AEF，则平面截直四棱柱1111ABCDABCD，所得截面图形的面积为（）A．32B．192C．3D．1916．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角ABCD的余弦值为13；②该截角四面体的体积为323212a；③该截角四面体的外接球表面积为2112πa④该截角四面体的表面积为263a，则其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，,,MNP分别为棱111,,ABCCCD的中点，动点Q平面MNP，2DQAB，则下列说法错误的是（）A．1BMBC的外接球面积为9B．直线//PQ平面11ABCC．正方体被平面MNP截得的截面为正六边形D．点Q的轨迹长度为318．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，3,4ABAD，将ABD△沿对角线BD翻折至ABD的位置，使得平面ABD平面BCD，则在三棱锥ABCD的外接球中，以AC为直径的截面到球心的距离为（）A．43510B．625C．23910D．1131019．（多选）（2023·河北承德·统考模拟预测）如图，正六棱柱111111ABCDEFABCDEF的各棱长均为1，下列选项正确的有（）A．过A，1C，1E三点的平面截该六棱柱的截面面积为53912B．过A，1C，1E三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为5π3D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为31π320．（多选）（2023·云南曲靖·校考三模）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点,,EFG分别是棱1,,ADDDCD的中点，则（）A．直线11,AGCE为异面直线B．1BD平面EFGC．过点,,BEF的平面截正方体的截面面积为92D．点P是侧面11BBCC内一点（含边界），1DP平面BEF，则DP的取值范围是33,4221．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点M、N满足1AMAC，CNCD，其中、0,1，点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A．当13时，//DM平面11CBDB．当12时，若1//BP平面11ANC，则1BP的最大值为3C．当12λμ时，若1PMDN，则点P的轨迹长度为425D．过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形22．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P为线段1CC上一点（不包括端点），点Q为1DB上的动点，下列结论成立的有（）A．过1ADP的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形B．QAQD的最小值为3C．当点P为线段1CC中点时，三棱锥1PBDD的外接球的半径为526D．,PQ两点间的最短距离为2223．（多选）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（）A．AO平面BCDB．球O的体积为2π3C．球O被平面BCD截得的截面面积为4π3D．过点O与直线AB，CD所成角均为π3的直线可作4条24．（多选）（2023·河北·校联考三模）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD的侧面11ABBA内（包含边界）有一点P，则下列说法正确的是（）A．若点P到直线AB与到直线11BC距离之比为2:1，则点P的轨迹为双曲线的一部分B．若点P到直线AB与到直线11BC距离之比为1:1，则点P的轨迹为抛物线的一部分C．过点,,PCD三点作正方体1111ABCDABCD的截面，则截面图形是平行四边形D．三棱锥PABC体积的最大值为1625．（多选）（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，M，N分别是,ABAD的中点，P为线段11CD上的动点，则下列结论正确的是（）A．存在点P，使得PM与1BC异面B．不存在点P，使得MNNPC．直线NP与平面ABCD所成角的正切值的最小值为255D．过,,MNP三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为33426．（多选）（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O，2O为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则（）A．球与圆柱的体积之比为2:3B．四面体CDEF的体积的取值范围为0,32C．平面DEF截得球的截面面积最小值为45D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PEPF的取值范围为225,4327．（2023·广东江门·统考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著