重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）（原卷版）

重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）【目录】考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数考法2：数形结合法判段函数零点个数考法3：转化法判断函数零点个数考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数考向二：利用零点求参数的值（范围）考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数一、函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．二、命题规律与备考策略三、题型方法考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数一、单选题1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数22sin23sinπcoscosfxxxxx，xR，则()fx在区间(0,π)上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．42．（2023·江西·统考模拟预测）函数sin23cos21fxxx在区间0,π内的零点个数是（）A．2B．3C．4D．5二、多选题3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数210fxaxbxa，下列说法正确的有（）A．若1,ayfx与21yx图象至多有2个公共点B．若1,ayfx与21yx图象至少有2个公共点C．若1,byfx与112yx图象至多有2个公共点D．若1,byfx与112yx图象至少有2个公共点三、填空题4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数()fx=__．①()fx是R上偶函数；②()fx在R上恰有三个零点；③()fx在1,上单调递增．5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．四、解答题6．（2023·全国·高三专题练习）已知fx是定义在R上的函数，4fxfx，77fxfx，00f，求在区间1000,1000上0fx至少有几个根？7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2exfxaxxa.(1)讨论fx的单调性；(2)当102a时，证明fx在R上有且仅有两个零点.8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数sin0,2fxAx在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x233103x02322sinx010-10fx0300(1)请填写上表的空格处，并画出函数()fx图像(2)写出函数()fx的解析式，将函数()fx的图像向右平移23个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图像，求()gx的解析式．(3)在（2）的条件下，若2313Fxgxagx在(0,2021)x上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．考法2：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数311()3,()()1(2)nnfxxxfxfxn，则2023()fx的零点个数为（）A．2023B．2025C．2027D．20292．（2023·全国·高三专题练习）设函数fx在,上满足22fxfx，55fxfx，且在闭区间0,5上只有130ff，则方程0fx在闭区间2020,2020上的根的个数（）．A．1348B．1347C．1346D．13453．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数π2sin433fxx在ππ,22上零点的个数为（）A．3B．4C．5D．64．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数2nn﹐定义在区间0,n上的函数yfx满足：当01x时22fxxx，且对任意的1,xn，都有11fxfx．若与n有关的实数nk使得方程nfxkx在区间1,nn上有且仅有一个实数解，则关于x的方程nfxkx的实数解的个数为（）A．nB．21nC．1nD．21n+二、多选题5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆22:()e1aCxay，则（）A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线eyx平分D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切三、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()yfx满足：当22x时，2114fxx，且()(4)fxfx对任意xR都成立，则方程16()4||1fxx的实根个数是______．7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数2sinlogfxxx的零点个数为__________.考法3：转化法判断函数零点个数一、单选题1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程345xxx解的情况是（）A．有且只有一个根2B．不仅有根2还有其他根C．有根2和另一个负根D．有根2和另一个正根2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1,0ln,0xaxfxxxax，则下列关于函数()fx的描述中，其中正确的是（）．①当0a时，函数()fx没有零点；②当02a时，函数()fx有两不同零点，它们互为倒数；③当2a时，函数()fx有两个不同零点；④当2a时，函数()fx有四个不同零点，且这四个零点之积为1．A．①②B．②③C．②④D．③④3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1,0ln,0xxfxxxx，则函数22gxffx的零点个数为（）A．3B．4C．5D．64．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1,0,()ln(),0,xxfxxxx则函数2()()yfxmfxm的零点个数不可能是（）A．1B．2C．3D．45．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数,,mnp，关于x的方程2112xxpmxmxnee的解集不可能是（）A．1B．0,2C．0,1,2D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，23,022,2xxxfxmxxx，那么函数()()2gxfx在定义域内的零点个数可能是（）A．2B．4C．6D．8三、填空题7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数2ln,0(),0xxfxxx，gxfxfx，则函数gx的零点个数为______．四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数3log1fxx的图象与2loggxx的图象有且仅有一个公共点．9．（2022·全国·高三专题练习）已知yfx是定义在R上的偶函数，当0x时，22fxxx（1）求(1)f，(2)f的值；（2）求()fx的解析式并画出函数的简图；（3）讨论方程fxk的根的情况.考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在R上的奇函数()fx满足在(1)()0fxfx+-=，则()fx在[3,3]x上的零点至少有（）个A．6B．7C．12D．132．（2022·全国·高三专题练习）函数1ln3xfxx的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1）1fxx，（2）2sinfxx，（3）3tanfxx，（4）4exfx，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.三、解答题4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数311e(e,e3xfxxaxa是自然对数的底数).(1)讨论函数fx的极值点的个数；(2)证明：函数fx在区间0,内有且只有一个零点.考向二：利用零点求参数的值（范围）考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数cos0,0fxaxa，若将函数yfx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数ygx的图象，若关于x的方程0gx在7π0,12上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．1024,77B．16,47C．10,47D．1624,772．（2023·山西阳泉·统考三模）函数22logfxxxm在区间1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）A．,5B．5,1C．1,5D．5,3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数22lngxxx，若函数23fxgxm有2个零点，则实数m的取值范围是（）A．1,2B．1,2C．5,2D．5,24．（2023·四川自贡·统考三模）设函数222334xxfxxxm有唯一的零点，则实数m为（）A．2B．12C．3D．135．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数π()2sin()(0,)2fxx的最小正周期为T，且()1fT，若()fx在[0,]上恰有3个零点，则的取值范围为（）A．1319[,)66B．1319(,]66C．1925[,)66D．1925(,]66二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知1x，2x分别是函数1exfxx和1lngxxx的零点，则（）A．1102xB．12lnln0xxC．12eln1xxD．1213562xx三、填空题7．（2023·四川凉山·三模）若函数24421fxxxa有两个零点，则实数a的取值范围为______．8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数2,048,cosxxafxxaxxa，当1a时，fx的零点个数为_____________；若fx恰有4个零点，则a的取值范围是______________.9．（2023·全国·校联考二模）已知函数1exfxx，若关