重难点04函数的奇偶性（7种考法）（原卷版）

重难点04函数的奇偶性（7种考法）【目录】考法1：函数奇偶性的定义与判断考法2：由奇偶性求函数解析式考法3：函数奇偶性的应用考法4：抽象函数的奇偶性考法5：由奇偶性求参数考法6：由函数奇偶性解不等式考法7：奇偶函数对称性的应用一、奇函数解题方法点拨：①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x命题方向：奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数解题方法点拨：①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．命题方向：与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．三．函数奇偶性的性质与判断二、命题规律与备考策略【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．四．奇偶函数图象的对称性【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．五．奇偶性与单调性的综合【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．六．抽象函数及其应用【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．考法1：函数奇偶性的定义与判断一、单选题1．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型23012ybbxbx模拟，其中0b，1b，2b均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A．20b时，y是偶函数B．模型函数的图象是中心对称图形C．若1b，2b均是正数，则y有最大值D．苹果树负载量的最小值是0b2．（2023·河南新乡·统考三模）函数23ln1()1||xxfxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．3．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数11()221xfx，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A．()()0fxfxB．()0fxC．若120xx，则1221xfxxfx三、题型方法D．若120xx，则1212fxfxfxx4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知x，ππ,44y，且33sin204sincos0xxayyya，则tan2xy（）A．0B．33C．1D．3二、多选题5．（2023·江苏·统考二模）已知函数2sinsin2fxxx，则（）A．fx是偶函数，也是周期函数B．fx的最大值为332C．fx的图像关于直线π3x对称D．fx在π0,3上单调递增6．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数()sinfxxx，则下列说法正确的有（）A．()fx是偶函数B．()fx是周期函数C．在区间π,π2上，()fx有且只有一个极值点D．过0,0作y=()fx的切线，有无数条三、填空题7．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为R的奇函数()fx满足()(1)(1)fxfxfx，且(1)2f，则(2024)f________．8．（2023·江西上饶·统考二模）关于函数sinsin122xxfx，有如下四个命题：①函数fx的图像关于y轴对称；②函数fx的图像关于直线π2x对称；③函数fx的最小正周期为2π；④函数fx的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________________．9．（2023·陕西渭南·统考二模）若函数,Ryfxx的关系式由方程4xxyy确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.①函数yfx是减函数；②函数yfx是奇函数；③函数yfx的值域为22,④方程0fxx无实数根：⑤函数yfx的图像是轴对称图形.四、解答题10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数fx满足2213221Rfxfxxaxax．(1)讨论fx的奇偶性；(2)设函数ln1hxxfxx，求证：1,yyhx∣．考法2：由奇偶性求函数解析式一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx是偶函数，当0x时，2afxxx．若曲线yfx在点1,1f处的切线方程为yxa，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．122．（2023·江苏南通·二模）已知函数fx的定义域为R，exyfx是偶函数，3exyfx是奇函数，则fx的最小值为（）A．eB．22C．23D．2e3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）若函数2,0,0fxxfxhxx的图象关于原点对称，且51f，则202220232024hhh（）A．1B．0C．1D．24．（2023·宁夏中卫·统考二模）设fx是定义在R上的函数，若2fxx是奇函数，fxx是偶函数，函数,0,1,21,1,fxxgxgxx，，则下列说法正确的个数有（）（1）当2,3x时，223gxxx（2）3212N2kkgk（3）若2gm，则实数m的最小值为72（4）若2hxgxkx有三个零点，则实数16kA．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（）A．94B．32C．74D．526．（2023·北京朝阳·二模）已知函数fx是R上的奇函数，当0x时，()42xfx.若关于x的方程ffxm有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（）A．,3(3,)B．3,00,3C．4,33,4UD．(,4)(4,)二、多选题7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，e1xfxx，则（）A．当0x时，e1xfxxB．xR，都有1,1fxC．0fx的解集为1,01,D．fx的单调递增区间是2,0，0,28．（2023·江苏·二模）已知定义域为R的奇函数fx，当0x时，22,2122,02xfxxxxx,下列叙述正确的是（）A．存在实数k，使关于x的方程fxkx＝有7个不相等的实数根B．当122xx时，有12fxfxC．当0xa时，fx的最小值为1，则13aD．若关于x的方程32fx＝和fxm＝的所有实数根之和为零，则32m＝三、填空题9．（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数23,0,1,0,xxxfxgxx则gx__________．10．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则fx可能是______．（本题答案不唯一）四、双空题11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知fx是定义R在上的奇函数，当0x时，222xxfx，当0x时，22xxfxmn，则mn________；若方程Rfxaa有两个不同的实数根，则a的取值范围是________．12．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在R上的奇函数fx满足2fxfx，且当10x≤≤时，12xfxm，则当01x时，fx___________；若对0,1x都有212224fxtx，则实数t的取值范围为___________.五、解答题13．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若函数323fxaxbxxc为奇函数，且在,1上单调递增，在1,1上单调递减．(1)求函数fx的解析式；(2)若过点1,2Amm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．考法3：函数奇偶性的应用一、单选题1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数31()ee13xxfxx，记等差数列na的前n项和为nS，若32102fa，20212100fa，则2023S（）A．4046B．2023C．2023D．40462．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，若32fx为偶函数且12f，则202220232024fff（）A．2B．0C．2D．43．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知函数fx及其导函数fx定