考点15圆锥曲线（15种题型9个易错考点）(原卷版）

考点15圆锥曲线（15种题型9个易错考点）圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），C2：𝑥24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=√3e1，则a＝（）A．2√33B．√2C．√3D．√62．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A．23B．√23C．−√23D．−233．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y=−√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2考题考点考向2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系抛物线的准线2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系求直线斜率，三角形面积2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系求直线斜率2022新高考圆锥曲线的综合问题求双曲线的方程2021新高考椭圆的定义和标准方程椭圆的定义，椭圆中的线段之积的最大值2021新高考抛物线的定义和标准方程抛物线的标准方程2021新高考双曲线的几何性质双曲线的渐进线方程2021新高考圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三点共线的证明一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知B．|MN|=83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形4．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，𝐹1𝐴→⊥𝐹1𝐵→，𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，则C的离心率为．5．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．6．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．四、考点清单1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PFPFa．（2）双曲线定义：12|||-|||2PFPFa．（3）抛物线定义：|𝑃𝐹|=𝑑．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)图形几何性质范围−𝑎≤𝑥≤𝑎,−𝑏≤𝑦≤𝑏−𝑏≤𝑥≤𝑏,−𝑎≤𝑦≤𝑎对称性对称轴：𝑥轴、𝑦轴.对称中心：原点.焦点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0).𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐).顶点𝐴1(−𝑎,0)，𝐴2(𝑎,0)，𝐵1(0,−𝑏),𝐵2(0,𝑏).𝐴1(0,−𝑎),𝐴2(0,𝑎)，𝐵1(−𝑏,0),𝐵2(𝑏,0).轴线段𝐴1𝐴2，𝐵1𝐵2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2𝑎，短轴长为2𝑏.焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐.离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2∈(0,1).𝑎,𝑏,𝑐的关系𝑐2=𝑎2−𝑏2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0,b＞0）𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1（a＞0,b＞0）图形焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=𝑐𝑎（e＞1）准线x＝±𝑎2𝑐y＝±𝑎2𝑐渐近线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0𝑥𝑏±𝑦𝑎=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)图形几何性质对称轴𝑥轴𝑦轴顶点𝑂(0,0)焦点𝐹(𝑝2,0)𝐹(−𝑝2,0)𝐹(0,𝑝2)𝐹(0,−𝑝2)准线方程𝑥=−𝑝2𝑥=𝑝2𝑦=−𝑝2𝑦=𝑝2范围𝑥≥0,𝑦∈𝐑𝑥≤0,𝑦∈𝐑𝑦≥0,𝑥∈𝐑𝑦≤0,𝑥∈𝐑离心率𝑒=1焦半径（𝑃(𝑥0,𝑦0)为抛物线上一点）𝑝2+𝑥0𝑝2−𝑥0𝑝2+𝑦0𝑝2−𝑦03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量𝑥,𝑦当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于𝑥,𝑦的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)，则直线必过定点(𝑥0,𝑦0);若得到了直线方程的斜截式𝑦=𝑘𝑥+𝑚，则直线必过定点(0,𝑚).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.一．椭圆的标准方程（共3小题）1．（2023•宜宾模拟）“1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023•江西模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程．3．（2023•普宁市校级二模）已知椭圆的离心率与双曲线的五、题型方法离心率互为倒数，短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作BM⊥l，垂足为M，求△ABM面积的最大值．二．椭圆的性质（共5小题）4．（2023•金凤区校级三模）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若|F1F2|＝|AF2|，＝2，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．5．（2023•湖南模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆上的任意一点，满足AF1⊥AF2，∠AF1F2的平分线与AF2相交于点B，则F1B分△AF1F2所得的两个三角形的面积之比＝．6．（2023•宁德模拟）已知椭圆C的一个焦点为F，短轴B1B2的长为为C上异于B1，B2的两点．设∠PB1B2＝α，∠PB2B1＝β，且tan（α+β）＝﹣3（tanα+tanβ），则△PQF的周长的最大值为．7．（2023•河北模拟）已知F1，F2分别为椭圆C：的两个焦点，右顶点为A，D为AF2的中点，且F1D⊥AF2，直线F1D与C交于M，N两点，且△AMN的周长为28，则椭圆C的短轴长为．8．（2023•濠江区校级模拟）已知点P是椭圆上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，当三角形AOB的面积取最大值时，切线l的斜率等于．三．直线与椭圆的综合（共6小题）9．（2023•常德模拟）已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．10．（2023•东湖区校级三模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为F1（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率；（Ⅱ）设直线l：x﹣my﹣2＝0与椭圆E交于两点A，B，点M在线段AB上，点F1关于点M的对称点为C．当四边形AF1BC的面积最大时，求m的值．11．（2023•商丘三模）如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1＝2k2．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．12．（2023•南通二模）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距与短轴长均为4．（1）求E的方程；（2）设任意过F2的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，且两条切线相交于点P，过F1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．13．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线y＝ax+6相切．（1）求C的方程；（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S1.△BPQ的面积为S2，若|AP|⋅S2＝|BP|⋅S1，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．14．（2023•石狮市校级模拟）已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求Ω的标准方程．（2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l1，l2（均不垂直于x轴），l1交Ω于A，B两点，l2交Ω于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．四．抛物线的定义（共1小题）15．（2023•德阳模拟）设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|＝．五．抛物线的标准方程（共2小题）16．（2023•昌江县二模）中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（）A．mB．mC．mD．12m17．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为．六．抛物线的性质（共6小题）18．（2023•河南模拟）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（）A．3B．C．2D．119．（2023•温江区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2x的焦点是F，若点P是C上一点且横坐标为4，则|PF|的值是（）A．2B．4C．D．520．（2023•遵义模拟）已知抛物线y＝x2的焦点为F，点B（1，3），若点A为抛物线任意一点，当|AB|+|AF|取最小值时，点A的坐标为（）A．B．C．（1，4）D．（4，1）21．（2023•