专题9.2 椭圆方程与性质(解析版)

9.2椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设𝐹1，𝐹2是平面上的两个定点，若平面内的点𝑃满足|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎(2𝑎|𝐹1𝐹2|)，则点𝑃的轨迹是以𝐹1，𝐹2为焦点的椭圆.2.椭圆的简单几何性质：标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)焦点坐标𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)𝐹1(0，𝑐)，𝐹2(0，−𝑐)焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，且𝑐2=𝑎2−𝑏2图形范围−𝑎≤𝑥≤𝑎，−𝑏≤𝑦≤𝑏−𝑏≤𝑥≤𝑏，−𝑎≤𝑦≤𝑎标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)对称性关于𝑥轴、𝑦轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：𝐴1(−𝑎，0)，𝐴2(𝑎，0)上、下顶点：𝐵1(0，𝑏)，𝐵2(0，−𝑏)左、右顶点：𝐵1(−𝑏，0)，𝐵2(𝑏，0)上、下顶点：𝐴1(0，𝑎)，𝐴2(0，−𝑎)长轴长|𝐴1𝐴2|=2𝑎，其中𝑎叫做长半轴长短轴长|𝐵1𝐵2|=2𝑏，其中𝑏叫做短半轴长离心率𝑒=𝑐𝑎(0𝑒1)3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为2𝑏2𝑎.典型例题分析考向一椭圆定义与应用【例1】椭圆𝑥29+𝑦22=1的焦点为𝐹1，𝐹2，点𝑃在椭圆上，若|𝑃𝐹1|=4，则|𝑃𝐹2|=_Ｆ1𝑃𝐹2的大小为___________；△𝑃𝐹1𝐹2的周长为；若延长𝑃𝑂交椭圆于𝑄，则|𝑃𝐹1|+|𝐹1𝑄|=___________答案：2；120∘；6+2√7；6解析：椭圆中给出|𝑃𝐹1|，可由定义求|𝑃𝐹2|，由题意，𝑎=3，𝑏=√2，𝑐=√𝑎2−𝑏2=√7，因为|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=6，且|𝑃𝐹1|=4，所以|𝑃𝐹2|=6−|𝑃𝐹1|=2；要求∠𝐹1𝑃𝐹2，可先求|𝐹1𝐹2|，在△𝑃𝐹1𝐹2中由余弦定理推论求cos∠𝐹1𝑃𝐹2，如图，|𝐹1𝐹2|=2𝑐=2√7，所以cos∠𝐹1𝑃𝐹2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=16+4−282×4×2=−12，故∠𝐹1𝑃𝐹2=120∘；△𝑃𝐹1𝐹2的周长为|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1𝐹2|=2𝑎+2𝑐=6+2√7；由椭圆的对称性，𝑂是𝑃𝑄中点，而𝑂也是𝐹1𝐹2的中点，所以四边形𝑃𝐹1𝑄𝐹2为平行四边形，从而|𝑄𝐹1|=|𝑃𝐹2|=2，故|𝑃𝐹1|+|𝑄𝐹1|=4+2=6.【变式】已知椭圆𝐶：𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，𝐴(1，2)，𝑃为椭圆𝐶上的动点，则|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|的最小值为___________答案：-2解析：如图，𝐴在椭圆外，不易直接分析|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|的最小值，可考虑用椭圆定义将|𝑃𝐹1|换成|𝑃𝐹2|来看，由题意，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=4，所以|𝑃𝐹1|=4−|𝑃𝐹2|，故|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐴|−(4−|𝑃𝐹2|)=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹2|−4(1)，由三角形两边之和大于第三边知|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹2|≥|𝐴𝐹2|，结合(1)得：|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹2|−4≥|𝐴𝐹2|−4(2)，当且仅当点𝑃位于图中𝑃0处时取等号，椭圆的半焦距𝑐=√𝑎2−𝑏2=√4−3=1，所以𝐹2(1，0)，又𝐴(1，2)，所以|𝐴𝐹2|=2，代入(2)知|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|≥2−4=−2，故|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹1|的最小值为-2.[反思]涉及椭圆上的点到一个焦点的距离的最值问题，若不易直接求解，则可考虑用椭圆定义，转化到另一个焦点去分析.考向二椭圆的标准方程【例2】以11,0F，21,0F为焦点，且经过点31,2的椭圆的标准方程为（）A．22132xyB．22143xyC．22134xyD．2214xy【答案】B【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点31,2，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将31,2代入22132xy得3211313212，故A错误，所以选B.故选：B【变式】已知(1,0)F，B是圆C：22116xy上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为.【答案】22143xy【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．【详解】解：圆22:(1)16Cxy，圆心为(1,0)，半径为4，因为线段BF的垂直平分线交BC于P点，所以||||PBPF，所以||||||||||4||2PCPFPCPBBCFC．所以由椭圆定义知，P的轨迹是以C，F为焦点的椭圆，方程为22143xy．故答案为：22143xy．考向三椭圆的离心率问题【例3】如图，A，B分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）A．33B．12C．32D．34【答案】C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设1122,,PxyQxy、，易知,0,0AaBa、，则22222222222221baxxyyaba，222222222222001AQBQyyybkkexaxaxaa，又212121210010044AQBPBQBPyykkxaxayykkxaxa，所以2344112APBPAPBQkkkkee.故选：C【变式1】若1F、2 F为椭圆C：22221xyab的左、右焦点，焦距为4，点P为C上一点，若对任意的1,4，均存在四个不同的点P满足12PFPF，则C的离心率e的取值范围为.【答案】22,32【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，12(2,0),(2,0)FF，设O为坐标原点，则21OFFOuuuruuur,所以21211221()()()()PFPFPOOFPOOFPOOFPOPOOFuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur24POuuur,即24PO，因为1,4，所以25,8POuuur，若存在四个不同的点P满足25,8POuuur，又222bPOa，所以2258ba，即22458aa，所以289a，所以22444,98ea，所以22,32e，故答案为:22,32.【变式2】已知椭圆C：222210xyabab的上顶点为B，两个焦点为1F，2F，线段2BF的垂直平分线过点1F，则椭圆的离心率为．【答案】12/0.5【分析】求出线段2BF的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得224ac，再结合222abc可求得离心率.【详解】如图，设2BF的垂直平分线与2BF交于点H，由题，1,0Fc，2,0Fc，0,Bb，则,22cbH，10232FHbbkccc，200BFbbkcc，121FHBFkk，13bbcc，化简得，223bc，由222abc，解得224ac，22214cea，即12e.故答案为：12.考向四椭圆的焦点三角形问题【例4】设𝐹1，𝐹2为椭圆𝑥29+𝑦24=1的两个焦点，𝑃为椭圆上一点，𝛥𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，且|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|，则|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|的值为___________答案：2或72解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的𝑎、𝑏、𝑐，由题意，𝑎=3，𝑏=2，𝑐=√𝑎2−𝑏2=√5，设|𝑃𝐹1|=𝑚，|𝑃𝐹2|=𝑛，𝑚𝑛，则𝑚+𝑛=2𝑎=6(1)，△𝑃𝐹1𝐹2是直角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图1和图2两种情况，若为图1，则𝑚2+𝑛2=|𝐹1𝐹2|2=4𝑐2=20(2)，联立(1)(2)结合𝑚𝑛可解得：𝑚=4，𝑛=2，所以|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=𝑚𝑛=2；若为图2，则𝑛2+|𝐹1𝐹2|2=𝑚2，即𝑛2+20=𝑚2(3)，联立(1)(3)解得：𝑚=143，𝑛=43，故|𝑃𝐹1|=𝑚|𝑃𝐹2|=72.[反思]解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：(1)勾股定理；(2)斜率之积为-1；(3)向量数量积等于0；(4)斜边上的中线等于斜边的一半等.选择合适的方法前应先预判计算量.【变式】已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，𝑃为椭圆𝐶上一点，𝑂为原点，若(𝑂𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗1+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=0，且|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|，则椭圆𝐶的离心率为___________答案：√53解析：椭圆𝐶的离心率𝑒=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=|𝐹1𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|，故只需分析△𝑃𝐹1𝐹2的三边比值，就可求得离心率，题干的向量关系式可化简，先化简，(𝑂𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=0⇒|𝑂𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|2=0⇒|𝑂𝐹1|=|𝑂𝑃|，所以|𝑂𝑃|=12|𝐹1𝐹2|，故𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，接下来只需结合|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|即可分析△𝑃𝐹1𝐹2的三边比值，不妨设|𝑃𝐹2|=𝑚，则|𝑃𝐹1|=2𝑚，|𝐹1𝐹2|=√|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=√5𝑚，所以𝑒=|𝐹1𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=√5𝑚𝑚+2𝑚=√53.[反思]椭圆焦点三角形已知(或可求得)三边比值求离心率，用公式𝑒=|𝐹1𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|来算.考向五椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆222210xyabab的离心率为32，上顶点为A，左顶点为B，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，且1FAB的面积为232，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF的取值范围为．【答案】1,4【分析】根据1FAB的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出1PF的范围，得到1211PFPF关于1PF的函数，从而求出答案．【详解】∵1FAB的面积为232，∴12322acb，∴23acb，由已知得32ca，即32ca，所以2332322abacbaab，所以2ab，又2312cbaa，所以2314ba，由2314ba，2ab解得2,1ab，进而3c，∴12121211PFPFPFPFPFPF211112444aPFPFPFPF，又12323PF，∴