考点06指数函数（7种题型2个易错考点）（原卷版）

考点06指数函数（7种题型2个易错考点）考题考点考向2022·全国·统考高考真题指数函数的单调性利用指数函数的单调性比较大小2022·全国·统考高考真题导数判断其单调性利用指数函数的单调性比较大小方法一：（指对数函数性质）方法二：【最优解】（构造函数）方法三：构造法方法四：比较法1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba2．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb一．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知四、考点清单解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．三．指数函数的图象与性质1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．四．指数型复合函数的性质及应用指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝auy＝ag（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．指数函数的实际应用指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．七．指数函数综合题【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0＜a＜1a＞1y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．一．有理数指数幂及根式（共5小题）1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（）A．a＜bB．a3＜b3C．ea﹣b＞1D．2．（2022•海淀区二模）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（）A．+＞0B．x3+y3＞0C．lg（x+y）＞0D．sin（x+y）＞03．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2（多选）4．（2023•汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（）A．xy＝2（x+y）B．xy＞16C．x+y＜9D．x2+y2＜32（多选）5．（2022•汕头二模）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是（）A．ab+bc＝2acB．ab+bc＝acC．4b•9b＝4a•9cD．二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共1小题）6．（2021•浙江模拟）函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．三．指数函数的图象与性质（共4小题）7．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是（）五、题型方法A．B．C．D．8．（2023•宿州模拟）已知3m＝4，a＝2m﹣3，b＝4m﹣5，则（）A．a＞0＞bB．b＞0＞aC．a＞b＞0D．b＞a＞09．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝．10．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则﹣的最小值是．四．指数型复合函数的性质及应用（共1小题）11．（2021•眉山模拟）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：≈﹣19034.7，68≈﹣34881）A．公元前1400年到公元前1300年B．公元前1300年到公元前1200年C．公元前1200年到公元前1100年D．公元前1100年到公元前1000年五．指数函数的单调性与特殊点（共7小题）12．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b13．（2023•广州二模）已知，，，则（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜b＜a14．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）A．eπ＞πe＞3eB．πe＞3e＞eπC．eπ＞3e＞e3D．3e＞eπ＞e315．（2023•盐城一模）设a，b∈R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（）A．1＜a＜bB．0＜b＜aC．b＜0＜aD．b＜a＜116．（2023•建水县校级模拟）函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点是（）A．（2，1）B．（2，2）C．（1，1）D．（1，2）17．（2023•大荔县一模）设a＝40.7，，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a18．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+loga（x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过定点．六．指数函数的实际应用（共2小题）19．（2023•沙坪坝区校级模拟）2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有（）个．（参考数据：lg2≈0.3010）A．2B．3C．4D．520．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（）（参考数据：lg1.6≈0.20）A．5B．10C．15D．20七．指数函数综合题（共1小题）21．（2022•德阳模