考点02 常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）（原卷版）

考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）考题考点考向2022天津、浙江、北京充分必要条件充分必要条件的判断本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基本概念、定理等，复习时以基础知识为主。1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要6．（2022•浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（2022•北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件一．充分条件与必要条件1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知四、考点清单例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．二．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．三．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．四．命题的否定命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．一．充分条件与必要条件（共8小题）1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（）A．∀x∈R，B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为RC．x＞1是x＞0的充分不必要条件D．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥03．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2023•佛山二模）记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（）A．B．C．﹣D．0【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．6．（2023•安徽二模）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件五、题型方法C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）当a＞0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．8．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3的值域为B．（Ⅰ）当a＝1时，求（∁RA）∩B；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．二．全称量词和全称命题（共2小题）9．（2023•哈尔滨二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（）A．a＞4B．a≥4C．a＜1D．a≥110．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．三．存在量词和特称命题（共5小题）11．（2023•郑州模拟）若“∃x∈R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“∃x∈[1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最大值为．13．（2023•九江二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（）A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题B．“∃x∈N，x2+2x＝0”是特称命题C．若xy≠0，则x，y都不为0D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件15．（2023•河南模拟）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，4）C．（﹣2，+∞）D．（4，+∞）四．命题的否定（共2小题）16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A．任意一个奇数是素数B．存在一个偶数不是素数C．存在一个奇数不是素数D．任意一个偶数都不是素数（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（）A．某些平行四边形是菱形B．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0C．∀x∈R，|x|+x2≥0D．∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解五．全称命题的否定（共1小题）18．（2023•达州模拟）命题p：∀x∈R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x∈R，2x+x2﹣x+1≤0B．∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，D．∃x0∈R，六．特称命题的否定（共2小题）19．（2023•新城区校级模拟）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（）A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0（多选）20．（2023•海南一模）已知命题p：“∃x∈R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“∀x∈R，x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（）A．p的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+a+6≠0”B．q的否定是“∃x∈R，x2+mx+1＞0”C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全例1：已知命题p：存在一个实数x0，使得x20－x0－20，写出綈p.例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b0”的________条件．一．选择题1．（2023•北京模拟）设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N*，则m+n＝p+q是am•an＝ap•aq的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条