专题8.4 空间直线、平面的垂直(解析版)

8.4空间直线、平面的垂直思维导图知识点总结1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥ml⊥nm∩n＝Am⊂αn⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3.二面角(1)定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α[常用结论]1.三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.2.三种垂直关系的转化线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直典型例题分析考向一直线与平面垂直的判定与性质1(2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.证明(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.感悟提升证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.考向二平面与平面垂直的判定与性质2如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.(1)证明∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM.∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD.又AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.(2)解∵M为BC的中点，∴BM＝12AD.由题意可知AB＝DC＝1，∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，所以BMAB＝ABAD，即12AD1＝1AD，解得AD＝2，所以S矩形ABCD＝AD·DC＝2×1＝2，则四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝13S矩形ABCD·PD＝13×2×1＝23.感悟提升1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质定理的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.3.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).(1)证明如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN.∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8cm，∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN.又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC，∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN.又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)解如图，分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD.由(1)知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝43，EM∥FN∥GQ∥HP.易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN，又PM＝QN＝MN＝PQ＝12BD＝42，所以四边形PMNQ是边长为42cm的正方形，所以四棱柱PMNQ－HEFG为正四棱柱，所以V四棱柱PMNQ－HEFG＝(42)2×43＝1283（cm3）.因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM.因为EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EM⊥AC.又EM，PM⊂平面PMEH，且EM∩PM＝M，所以AC⊥平面PMEH，则点A到平面PMEH的距离d＝14AC＝22，所以V四棱锥A－PMEH＝13S四边形PMEH·d＝13×42×43×22＝6433（cm3），所以该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ－HEFG＋4V四棱锥A－PMEH＝1283＋4×6433＝64033(cm3).考向三平行、垂直关系的综合应用4.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由.(1)证明如图，取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝12BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面CSB，SB⊂平面CSB，∴AF⊥平面CSB，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意.假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，又在Rt△BMO中，cos∠SBD＝OBBM＝33020，∴BM＝2103，∴BMBS＝23.即在棱SB上存在一点M，使得BD⊥平面MAC，此时BMBS＝23.感悟提升1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用.2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC答案ACD解析∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴ACD正确.6.(2023·长沙调研)如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角△ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是()A.CD⊥ABB.BC⊥ADC.BD⊥ABD.BC⊥CD答案B解析对于A，D，当平面ADC⊥平面ABC时，因为CD⊥AC，平面ADC∩平面ABC＝AC，所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥AB，CD⊥BC，故A，D可能成立；对于C，假设DC＝2a，则AD＝22a，AC＝AD2－DC2＝6a，BC＝AB＝3a，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得BD＝DC2＋BC2－2DC·BC·cos∠DCB＝2a2＋3a2－2×2a×3a×－22＝5＋23a＞5a，则在旋转过程中，存在某一时刻满足BD＝5a，此时BD2＋AB2＝AD2，BD⊥AB.故C可能成立；利用排除法可知选项中不成立的结论为B项，故选B.7.(多选)(2023·青岛质检)四棱台ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1⊥平面ABCD，则()A.直线AD与直线B1D1所成角为45°B.直线AA1与直线CC1异面C.平面ABB1A1⊥平面ADD1A1D.CA1⊥AD答案AC解析对于A，如图，连接BD，则BD∥B1D1，则直线AD与直线BD所成的角即为直线AD与直线B1D1所成角，在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，故直线AD与直线B1D1所成角为45°，故A正确；对于B，由于棱台的侧棱延长后会交于同一点，故直线AA1与直线CC1是相交直线，故B错误；对于C，由AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，且AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面ADD1A1，故AB⊥平面ADD1A1，而AB⊂平面ABB1A1，故平面ABB1A1