专题8.3 空间直线、平面的平行(解析版)

8.3空间直线、平面的平行思维导图知识点总结1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义如果一条直线a与一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[常用结论]1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化典型例题分析考向一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.证明(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又∵F是PD的中点，∴OF∥PB，又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，∴PB∥平面ACF.(2)取PA的中点G，连接GF，BG.∵F是PD的中点，∴GF是△PAD的中位线，∴GF綉12AD，∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，∴BE綉12AD，∴GF綉BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.角度2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.感悟提升1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.考向二平面与平面平行的判定与性质例3(1)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可得CD∥平面EFGH.(2)解设EF＝x(0＜x＜4)，由于四边形EFGH为平行四边形，所以CFCB＝x4，则FG6＝BFBC＝BC－CFBC＝1－x4，∴FG＝6－32x，∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长L＝2x＋6－32x＝12－x.又∵0＜x＜4，∴8＜L＜12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).(2)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证：BC∥HG；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，又平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥HG.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.迁移在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值.解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1，又由题设得A1D1D1C1＝DCAD，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.感悟提升证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).考向三平行关系的综合应用例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.(1)证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝23，又因为CQQD1＝BPPD＝23，所以CQQD1＝CPPM＝23，所以PQ∥MD1，又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图，证明如下：因为ARAB＝35，即BRRA＝23，故BRRA＝BPPD，所以PR∥DA，又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.感悟提升证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.基础题型训练一、单选题1．下列命题一定正确的是A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】C【详解】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；B：空间四边形，不共面，故错误；C：正确；D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误．故选C．2．“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l与平面没有公共点，那直线l与平面只能平行，故充分条件成立；若直线l与平面平行，则直线l与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充分必要条件.故选：C3．已知mn、是不重合直线，、、是不重合平面，则下列命题①若、，则∥②若mnm、、∥n、∥，则∥③若∥、∥，则∥④若m、，则m∥⑤若mn、，则m∥n为假命题的是A．①②③B．①②⑤C．③④⑤D．①②④【答案】D【分析】由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由平行平面的传递性可判断③；由线面垂直和面面垂直的性质可判断④；由垂直于同一平面的两直线平行可判断⑤．【详解】m、n是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，对于①，若α⊥γ、β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故①错误；对于②，若m⊂α、n⊂α、m∥β、n∥β，且m，n相交，则α∥β，故②错误；对于③，若α∥β、γ∥β，则γ∥α，故③正确；对于④，若α⊥β、m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；对于⑤，若m⊥α、n⊥α，则m∥n，故⑤正确．故选D．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．4．如图在正四面体ABCD中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面直线CE与DF所成角的余弦值（）A．36B．16C．33D．13【答案】B【分析】取AE的中点M，连接,MFMD，则MFD为两条异面直线CE与DF所成角（或其补角），设正四面体ABCD的边长为2，求出,,MFDFDM，即可求出cosMFD.【详解】取AE的中点M，连接,MFMD，则MFD为两条异面直线CE与DF所成角（或其补角），设正四面体ABCD的边长为2，31113,3,422cos602422MFDFDM，所以313131442cos363232MFD.两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为16.故选：B.5．已知两个平面､，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（）A．､都垂直于一个平面B．平面内有无数条直线与平面平行C．lm､是内两条直线，且lm､都与平面平行D．lm､是两条异面直线，且lm､分别与平面､都平行【答案】D【分析】根据空间线面位置关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，､都垂直于一个平面，平面与平面平行或相交，故错误；对于B选项，平面内有无数条直线与平面平行，则两个平面平行或相交，故错误；对于C选项，当lm､是内两条相交直线，且lm､都与平面平行时，//，故错误；对于D选项，lm､是两条异面直线，且lm､分别与平面､都平行，则//，故正确.故选：D6．设，为两个不同平面，a，b是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A．若abrr，b，则//aB．若a，b，则a与b是异面直线C．若a，b，abrr，则D．若b，//ab则//a且//a【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】解：对于A：由abrr，b，则//a或a，故A错误；对于B：若a，b，则a与b可能是异面直线、平行或相交，故B错误；对于C：若a，b，abrr，则，故C正确；对于D：若b，//ab，则//a或a或a，故D错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．二、多选题7．已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理正确的是（）A．Aa，A，Ba，BaB．a，M，MMaC．A，AA＝D．A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、β重合【答案】ABD【分析】两个平面的公共部分不可能只有一个点，所以C选项错误，其余选项根据线面关系可判定正确.【详解】直线上有两点在一