专题3.2 导数在函数单调性、极值中的应用（解析版）

3.2导数在函数单调性、极值中的应用思维导图知识点总结利用导数解决单调性问题本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系(1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；(2)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)在区间(a，b)内，f′(x)0(f′(x)0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．利用导数解决极值与最值问题1．函数的极值与导数2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．典型例题分析考向一求函数的单调区间(不含参数)例1函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)答案D解析f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2.所以单调递增区间为(2，＋∞).确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．考向二讨论含参函数的单调性例2已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．解由已知得f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x0)，①当a≥0时，由于x0，故ax＋10，f′(x)0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).②当a0时，令f′(x)＝0，得x＝－1a.在区间0，－1a上，f′(x)0；在区间－1a，＋∞上，f′(x)0.函数f(x)的单调递增区间为0，－1a，单调递减区间为－1a，＋∞.1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．考向三函数单调性的简单应用例3(多选)定义在0，π2上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)＜0成立，则()A．fπ6＞2fπ4B．3fπ6＞fπ3C．fπ6＞3fπ3D．2fπ6＞3fπ4答案CD解析构造函数g(x)＝f（x）cosx0xπ2.则g′(x)＝f′（x）cosx＋f（x）sinx（cosx）2＜0，即函数g(x)在0，π2上单调递减，所以gπ6＞gπ3，所以fπ6＞3fπ3，同理，gπ6＞gπ4，即2fπ6＞3fπ4.故选CD.以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，f（x）g（x）”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．考向四利用导数解决函数的极值问题例4如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论：①f(x)在区间(－3，1)上是增函数；②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数；③1是f(x)的极大值点；④－1是f(x)的极小值点．其中正确的结论是()A．①③B．②③C．②③④D．②④答案D解析由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确．函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数值符号．(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．考向五利用导数求函数的最值例5已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝excosx－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2exsinx≤0在0，π2上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，∴g(x)在0，π2上单调递减，∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，∴f(x)在0，π2上单调递减，∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝fπ2＝－π2.求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．提醒：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．考向六利用导数求解函数极值和最值的综合问题例6甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝119200x4－1160x3＋15x.(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．解(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为40060×119200×604－1160×603＋15×60＝1500元．所以当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．(2)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝400x·119200x4－1160x3＋15x＝148x3－52x2＋6000(0x≤100)，f′(x)＝116x2－5x＝x（x－80）16，令f′(x)＝0，解得x＝80，当0x80时，f′(x)0，当80x≤100时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0，80)上单调递减，在(80，100]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(80)＝20003.所以为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，此时运输成本取得最小值20003元．1．解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题作答．基础题型训练一、单选题1．定义在R上的连续可导函数fx，当0x时，满足20fxfxx，则函数1gxfxx的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】构造2hxxfx，求导，根据题意可得hx的单调性，1gxfxx的零点个数转化为yhx与0yxx的交点个数，画出简图即可求解.【详解】解：由20fxfxx可得2220xfxxfxx，即220xfxxfx，所以20xfx.令2hxxfx，则hx在,0,0,上单调递增.令10gxfxx，则2xfxx.所以1gxfxx的零点个数为方程hxx的根的个数，即yhx与0yxx的交点个数.作出简图(如图所示)，由图可知yhx与0yxx的图象没有交点.所以函数1gxfxx的零点的个数为0.故选:A.2．若函数lnfxxax在区间3,4上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．10,3B．1,4C．11,43D．11,43【答案】D【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题【详解】由已知得1axfxx，若函数lnfxxax在3,4上有极值点，则10ax在3,4x上有解，即13,4xa，解得1143a.故选：D3．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（）A．(－∞，－3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3，3)D．(3，＋∞)【答案】B【分析】求出导函数()fx¢，根据函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则函数()fx¢有两不同的零点，即0，从而可得答案.【详解】解：2321fxxax，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，所以函数2321fxxax有两不同的零点，即24120a，解得3a或3a，所以a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).故选：B.4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数ln||()||xfxx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可【详解】解：函数的定义域为0xx，因为ln||ln||()()||||xxfxfxxx，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，所以排除BC，当0x