2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（）（A）i（B）i（C）1（D）1【答案】A【解析】60741513iiii，共轭复数为i，故选A．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254石，故选B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）（A）122（B）112（C）102（D）92【答案】D【解析】因为(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37nnCC，解得10n，所以二项式(1)nx中奇数项的二项式系数和为1091222，故选D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）（A）21()()PYPY（B）21()()PXPX（C）对任意正数t，()()PXtPYt（D）对任意正数t，()()PXtPYt【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x对称，所以12，从图中容易得到PXtPYt，故选C．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,naaaR，3n．若p：12,,,naaa成等比数列；q：22222221212312231()()()nnnnaaaaaaaaaaaa，则（）（A）p是q的充分条件，但不是q的必要条件（B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件（C）p是q的充分必要条件（D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,npaaa成等比数列，则公比13nnaqna且0na；对命题q，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A．0na22222221212312231()()()nnnnaaaaaaaaaaaa0na22222221212312231()()()nnnnaaaaaaaaaaaannaaaaaa1322112,,,naaa2（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa，则（）（A）sgn[()]sgngxx（B）sgn[()]sgngxx（C）sgn[()]sgn[()]gxfx（D）sgn[()]sgn[()]gxfx【答案】B【解析】因为()fx是R上的增函数，令()fxx，所以1gxax，因为1a，所以gx是R上的减函数，由符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx知，1,0,sgn0,0,sgn1,0.xxxxx，故选B．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“1||2xy”的概率，3p为事件“12xy”的概率，则（）（A）123ppp（B）231ppp（C）312ppp（D）321ppp【答案】B【解析】因为,0,1xy，对事件“12xy”如图（1）阴影部分1S，对事件“12xy”，如图（2）阴影部分2S，对事件“12xy”，如图（3）阴影部分3S，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231SSS，正方形的面积为111，根据几何概型公式可得231ppp，故选B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）（A）对任意的,ab，12ee（B）当ab时，12ee；当ab时，12ee（C）对任意的,ab，12ee（D）当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D【解析】依题意，22211abbeaa，22221ambmbmeamam，因为mbabbmabbmabamaamaamaam，由于0m，0a，0b，当ab时，01ba，01bmam，bbmaam，22bbmaam，所以12ee；当ab时，1ba，1bmam，而bbmaam，所以22bbmaam，所以12ee．所以当ab时，12ee，当ab时，12ee，故选D．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为（）3（A）77（B）49（C）45（D）30【答案】C【解析】因为集合22,1,,AxyxyxyZ，所以集合A中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB的元素可看作正方形1111ABCD中的整点（除去四个顶点），即77445个，故选C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设xR，[]x表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn同时成立．．．．，则正整数n的最大值是（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B【解析】由[]1t得12t，由2[]2t得223t，由43t得445t，可得225t，所以225t；由3[]3t得334t，所以5645t，由55t得556t，与5645t矛盾，故正整数n的最大值是4，故选B．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OAAB，||3OA，则OAOB．【答案】9【解析】因为OAAB，3OA，22239OAOBOAOAOBOAOAOBOA．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx的零点个数为．【答案】2【解析】因为24coscos2sinln121cossin2sinln1sin2ln122xxfxxxxxxxxxx，所以函数fx的零点个数为函数sin2yx与ln1yx图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数fx由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm．【答案】1006【解析】依题意，30BAC，105ABC，在ABC中，由180ABCBACACB，所以45ACB，因为600AB，由正弦定理可得600sin45sin30BC，即3002BCm，在RtBCD中，因为30CBD，3002BC，所以tan303002CDCDBC，所以1006CDm．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的4上方），且2AB．（1）圆C的标准．．方程为；（2）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：①NAMANBMB；②2NBMANAMB；③22NBMANAMB．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）22122xy；（2）①②③【解析】（1）依题意，设1,Cr（r为圆的半径），因为2AB，所以22112r，所以圆心1,2C，故圆的标准方程为22122xy．（2）解法一：联立方程组220122xxy，解得021xy或021xy，因为B在A的上方，所以0,21A，0,21B，领直线MN的方程为0x，此时0,1M，0,1N，所以2MA，22MB，22NA，2NB，因为22212NANB，22122MAMB，所以NAMANBMB所以22212122222NBMANAMB，222121222222NBMANAMB，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心1,2C，0,2E，又2AB，且E为AB中点，0,21A，0,21B，M，N在圆22:1Oxy，可设cos,sinM，cos,sinN，22cos0sin21NA22cossin221sin322422221sin2221221sin2212sin，22cos0sin21NB22cossin221sin322422221sin2221221sin2212sin，2212sin2121212212sinNANB，同理21MAMB