专题2.5 对数与对数函数（解析版）

2.5对数与对数函数思维导图知识点总结知识点一对数运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二换底公式1．logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝1logNa(N0，且N≠1；a0，且a≠1)；(2)lognmab＝mnlogab(a0，且a≠1，b0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a0，b0，c0，d0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知识点三对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝1logax的图象关于x轴对称典型例题分析考向一对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)log53625；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log573＋log57－log595.解(1)原式＝13log5625＝13log554＝43.(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考向二对数换底公式的应用例2(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.答案56解析原式＝1log34＋1log38log32＝12log32＋13log32log32＝12＋13＝56.(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝log1845log1836＝log185×9log182×18＝log185＋log189log182＋log1818＝a＋b1＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－log189＝a＋b2－a.反思感悟利用换底公式化简与求值的思路考向三对数函数的概念及应用例3(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a0，且a≠1)；③(31)log;yx④y＝log3x2；⑤y＝logx3(x0，且x≠1)；⑥2πlog.yx其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f12＝________.答案(1)D(2)－1解析(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．(2)设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝loga8，解得a＝2.所以对数函数的解析式为f(x)＝log2x，所以f12＝log212＝－1.反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法对数函数必须是形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)对数式系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.考向四对数函数的图象问题例4(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的()答案C(2)函数y＝loga(x＋2)＋3(a0且a≠1)的图象过定点________．答案(－1,3)解析令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．(3)已知f(x)＝loga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．解因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝log5x，x0，log5－x，x0.所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．考向五反函数例5函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝201910x(x0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．解120192019()1010xxfx(x0)是增函数，所以01201910x100，所以01201910x1，故f(x)＝1201910x的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，所以g(x)＝2019lgx，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．反思感悟互为反函数的常用结论(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．考向六解对数不等式例6解下列关于x的不等式：(1)7171log(4)og;lxx(2)loga(2x－5)loga(x－1)．解(1)由题意可得x0，4－x0，x4－x，解得0x2.所以原不等式的解集为{x|0x2}．(2)当a1时，原不等式等价于2x－50，x－10，2x－5x－1.解得x4.当0a1时，原不等式等价于2x－50，x－10，2x－5x－1，解得52x4.综上所述，当a1时，原不等式的解集为{x|x4}；当0a1时，原不等式的解集为x52x4.反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况进行讨论．(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．基础题型训练一、单选题1．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,EE，则1E和2E的关系为（）A．1232EEB．1264EEC．121000EED．121024EE【答案】C【解析】考虑12lglgEE的值，再利用指对数转换可得1E和2E的关系.【详解】由题设可得12lglg1.52EE，故312101000EE，故选：C.【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.2．已知1a，函数xya与log()ayx的图像只可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据xya是增函数，函数log()ayx的定义域为(,0)，且在定义域内为减函数，从而得出结论．【详解】解：已知1a，故函数xya是增函数．而函数log()ayx的定义域为(,0)，且在定义域内为减函数，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．3．已知213311ln323abc，，，则abc，，的大小关系为()A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】D【分析】利用指数的运算及对数函数的性质,结合幂函数的性质即可求解.【详解】因为ln3lne=1c，21331124a，因为函数13yx在0,上单调递增，又1143，所以113311431，故cba．故选：D.4．设151log3a，21log3b，则（）A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab【答案】B【解析】先利用对数函数的图像与性质判断出a与b的符号，从而可判断出ab的符号，利用换底公式计算出11ab与1的大小，由此可得出ab、ab、0三个数的大小关系.【详解】对数函数15logyx为0,上的减函数，则11551loglog103，即0a.又对数函数2logyx为0,上的增函数，则221loglog103，即0b，0ab由换底公式得31log5a，31log2b，333115log5log2log2ab，1101ab，即01abab，即0abab，故选：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题.5．已知函数22ln1fxxx，若不等式241faxfx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．22,B．4,4C．,44,D．,22,U【答案】B【分析】由题可知函数为偶函数，且当0x时，函数fx单调递增，进而可得241axx，然后利用基本不等式即得.【详解】因为函数fx满足fxfx，且定义域为R，所以函数fx为偶函数，且当0x时，函数fx单调递增，故241faxfx可以变为241faxfx，即241axx，当0x时，Ra；当0x时，可得241xax．又241114244xxxxxx，当且仅当12x时取等号，所以4a，解得44a.故选：B．6．已知函数21ln11fxxx，若实数a满足20.5loglog21fafaf，则a的取值范围是（）A．1,2B．0,0.5C．0.5,2D．0,2【答案】C【分析】由函数解析式可得函数()fx为偶函数，且当0x…时，()fx为增函数，将不等式转化为2|log|1a„求解即可．【详解】因为21()(1||)1fxlnxx，所以()()fxfx，所以函数()fx为偶函数．当0x…时，21()(1)1fxlnxx，()fx为增函数，由20.5(log)(log)2fafaf„（1），22(log)(log)2fafaf„（1）得22(log)2faf„（1），即2(log)faf„（1），可得2|log|1a„，解得0.52a剟．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与应用，考查转化思想的应用及运算求解能力，属于中档题．二、多选题7．已知0,0ab，且2ab，则（）A．24abB．22112abC．lglg0abD．24bab【答案】AC【分析】由基本不等式可得01ab，A由2(