专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题 （11大核心考点）（讲义）（解析版）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................9考点一：倍长定比分线模型.....................................................................................................................................9考点二：倍角定理..................................................................................................................................................12考点三：角平分线模型..........................................................................................................................................15考点四：隐圆问题..................................................................................................................................................19考点五：正切比值与和差问题...............................................................................................................................22考点六：四边形定值和最值...................................................................................................................................25考点七：边角特殊，构建坐标系...........................................................................................................................28考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题..................................................................30考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围.....................................................................................33考点十：三角形中的几何计算...............................................................................................................................38考点十一：三角形的形状判定...............................................................................................................................43解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考点要求考题统计考情分析正弦定理2023年北京卷第7题，4分2023年乙卷第4题，5分2022年II卷第18题，12分【命题预测】预测2024年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在前两题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题．余弦定理2022年乙卷第17题，12分2021年乙卷第15题，5分2021年浙江卷第14题，6分三角形的几何计算2023年甲卷第16题，5分2023年II卷第17题，10分2022年天津卷第16题，15分2021年乙卷第9题，5分范围与最值问题2022年上海卷第19题，14分2022年甲卷第16题，5分2022年I卷第18题，12分1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sinsinsin222SabCacBbcA，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．1．（2023•北京）在ABC中，()(sinsin)(sinsin)acACbAB，则(C)A．6B．3C．23D．56【答案】B【解析】由正弦定理2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）可得：sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR，所以()(sinsin)(sinsin)acACbAB可化为()()()acacbab，即222abcab，2221cos222abcabCabab，又(0,)C，3C．故选：B．2．（2023•乙卷）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若coscosaBbAc，且5C，则(B)A．10B．5C．310D．25【答案】C【解析】由coscosaBbAc得sincossincossinABBAC，得sin()sinsin()ABCAB，即sincossincossincossincosABBAABBA，即2sincos0BA，得sincos0BA，在ABC中，sin0B，cos0A，即2A，则32510BAC．故选：C．3．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高(AB)A．表高表距表目距的差表高B．表高表距表目距的差表高C．表高表距表目距的差表距D．表高表距表目距的差表距【答案】A【解析】DEEHABAH，FGCGBACA，故EHCGAHCA，即EHCGAEEHAEEGGC，解得EHEGAECGEH，AHAEEH，故DEAEEHDEAHDEAEDEEHDEEGABDEEHEHEHEHCGEH表高表距表目距的差表高．另如图所示，连接FD并延长交AB于点M，GCEHACAHCHFGDEABABAB表目距的差表高，EGDFBDBMABABABBMCHCHBHABAB表高表距表距表目距的差表目距的差表高，ABBMMA表高表距表目距的差表高．故选：A．4．（2022•上海）已知在ABC中，3A，2AB，3AC，则ABC的外接圆半径为．【答案】213．【解析】在ABC中，3A，2AB，3AC，利用余弦定理2222cosBCACABABACA，整理得7BC，所以2sinBCRA，解得213R．故答案为：213．5．（2023•上海）已知ABC中，角A，B，C所对的边4a，5b，6c，则sinA．【答案】74．【解析】4a，5b，6c，由余弦定理得，2222536163cos22564bcaAbc，又(0,)A，sin0A，2237sin11()44AcosA．故答案为：74．6．（2021•乙卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b．【答案】22．【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，1sin32acB2213341222acacac，又222cos2acbBac21122228bb，（负值舍）故答案为：22．7．（2021•浙江）在ABC中，60B，2AB，M是BC的中点，23AM，则AC；cosMAC．【答案】213；23913．【解析】在ABM中：2222cos60AMBABMBABM，2221(23)2222BMBM，2280BMBM，解得：4BM或2（舍去）．点M是BC中点，4MC