专题05 分类打靶函数应用与函数模型（6大核心考点）（讲义）（解析版）

专题05分类打靶函数应用与函数模型【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................2...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................9考点一：二次函数与幂模型...................................................................9考点二：分段函数模型......................................................................11考点三：对勾函数模型......................................................................13考点四：指数函数模型......................................................................17考点五：对数函数模型......................................................................18考点六：函数模型的选择....................................................................19本节内容，常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中发现、选择、建立数学模型，如二次函数、指数函数、对数函数模型，对现实问题中数据进行处理以解决问题，体现数学知识的实用性．考点要求考题统计考情分析二次函数模型，分段函数模型2021年北京卷第8题，4分2020年上海卷第19题，14分【命题预测】预测2024年高考，可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能指数函数、对数函数模型2023年I卷第10题，5分2021年甲卷（文）第6题，5分2020年山东卷第6题，5分力综合考察．1、几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型abaxxf()(，b为常数且)0a反比例函数模型xkxf)(（k为常数）二次函数模型acbxaxxf()(2，b，c为常数且)0a指数函数模型acbaxfx()(，b，c为常数，0b，0a，1)a对数函数模型acxbxfa(log)(，b，c为常数，0b，0a，1)a幂函数模型abaxxfn()(，b为常数，)0a2、解函数应用问题的步骤：（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．3、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系．其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．1．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(10)(101.259)A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】在5LlgV中，4.9L，所以4.95lgV，即0.1lgV，解得0.10.110111100.8101.25910V，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．2．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：)mm．24h降雨量的等级划分如下：等级24h降雨量（精确到0.1)小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示），则这24h降雨量的等级是()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨【答案】B【解析】圆锥的体积为21133VShrh，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为112005022mm，将50r，150h代入公式可得3125000()Vmm，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为VSh，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以221(200)10000()2Smm，则平地上积水的厚度12500012.5()10000hmm，因为1012.525，由题意可知，这一天的雨水属于中雨．故选：B．3．（2020•山东）基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rtIte描述累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT．有学者基于已有数据估计出03.28R，6T．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(20.69)lnA．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【解析】把03.28R，6T代入01RrT，可得0.38r，0.38()tIte，当0t时，(0)1I，则0.382te，两边取对数得0.382tln，解得21.80.38lnt．故选：B．4．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M，月球质量为2M，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR．设rR．由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r的近似值为()A．21MRMB．212MRMC．2313MRMD．2313MRM【答案】D【解析】rR．rR，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR．21212221(1)12RrMMMrrrRRR，把rR代入，得：1212211(1)(1)MMM，32211122221(1)1(33)[(1)](1)(1)(1)MMMM，3453221333(1)MM，2313MrRRM．故选：D．5．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020ppLlgp，其中常数00(0)pp是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为1p，2p，3p，则()A．12pp…B．2310ppC．30100ppD．12100pp„【答案】ACD【解析】由题意得，10602090plgp剟，92010100010ppp剟，20502060plgp剟，52020101000ppp剟，302040plgp，30100pp，可得12pp…，A正确；230101000ppp„，B错误；30100pp，C正确；952210021010010100pppp剟，12100pp„，D正确．故选：ACD．6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则1001531003xyzxyz，当81z时，x，y．【答案】8；11【解析】1001531003xyzxyz，当81z时，化为：195373xyxy，解得8x，11y．故答案为：8；11．7．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qvx，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量801100135(),040()3(40)85,4080xxvfxkxx剟．（1）若交通流量95v，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度80x时，测得交通流量50v，求车辆密度q的最大值．【解析】（1）按实际情况而言，交通流量v随着道路密度x的增大而减小，故()vfx是单调递减函数，所以0