专题02 不等式与复数（6大核心考点）（讲义）（解析版）

专题02不等式与复数【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................2...............................................................................................................................................4.............................................................................................................................................10考点一：基本不等式二元式...................................................................................................................................10考点二：和式与积式..............................................................................................................................................12考点三：柯西不等式二元式...................................................................................................................................15考点四：齐次化与不等式最值...............................................................................................................................17考点五：复数的四则运算......................................................................................................................................20考点六：复数的几何意义......................................................................................................................................22有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.考点要求考题统计考情分析基本不等式2023年上海卷第6题，4分2022年上海卷第14题，5分2022年新高考II卷第12题，5分2021年上海卷第16题，5分2023年天津卷第13题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！复数的四则运算2023年新高考I卷第2题，5分2023年新高考甲卷第2题，5分2023年新高考乙卷第1题，5分2022年新高考II卷第2题，5分复数的几何意义2023年新高考II卷第1题，5分2023年上海卷第11题，5分2022年新高考乙卷第2题，5分1、几个重要的不等式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,abR，则2abab（当且仅当“ab”时取“”）．特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）．（3）其他变形：①2222abab（沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式）②222abab（沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式）③22abab（沟通两积ab与两和ab的不等关系式）④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,xyR．（1）如果xyS（定值），则2224xySxy（当且仅当“xy”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xyP（定值），则22xyxyP（当且仅当“xy”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：2(0,0)nmxmnmnx，当且仅当nxm时等号成立；模型二：()2(0,0)nnmxmxamamnmamnxaxa，当且仅当nxam时等号成立；模型三：211(0,0)2xaccaxbxcacbaxbx，当且仅当cxa时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mxnmxmxnmxnnxnmxmnxmmmm（，当且仅当2nxm时等号成立．4、对复数几何意义的理解及应用（1）复数z，复平面上的点z及向量OZ相互联系，即(,)(,)zabiabRZabOZ；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．（2022•上海）若实数a、b满足0ab，下列不等式中恒成立的是()A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab【答案】A【解析】因为0ab，所以2abab…，当且仅当ab时取等号，又0ab，所以2abab，故A正确，B错误，222222aabbab…，当且仅当22ab，即4ab时取等号，故CD错误，故选：A．2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是()A．224yxxB．4|sin||sin|yxxC．222xxyD．4ylnxlnx【答案】C【解析】对于A，2224(1)33yxxx…，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0|sin|1x„，所以44|sin|2|sin|4|sin||sin|yxxxx…，当且仅当4|sin||sin|xx，即|sin|2x时取等号，因为|sin|1x„，所以等号取不到，所以4|sin|4|sin|yxx，故选项B错误；对于C，因为20x，所以24422222422xxxxxxy…，当且仅当22x，即1x时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当1xe时，1414541ylnelne，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．3．（2021•上海）已知两两不相等的1x，1y，2x，2y，3x，3y，同时满足①11xy，22xy，33xy；②112233xyxyxy；③1133222xyxyxy，以下哪个选项恒成立()A．2132xxxB．2132xxxC．2213xxxD．2213xxx【答案】A【解析】设1122332xyxyxym，11xmayma，22xmbymb，33xmcymc，根据题意，应该有,,0abcabc，且2222222()0mamcmb，则有222222acbmb，则1322()()2()2()xxxmamcmbbac，因为22222(2)()2()()0bacacac，所以13222()0xxxbac，所以A项正确，B错误．2222132()()()()(2)(2)2acxxxmamcmbbacmacbbacm，而上面已证(2)0bac，因为不知道m的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A．4．（2023•新高考Ⅰ）已知122izi，则(zz)A．iB．iC．0D．1【答案】A【解析】21111(1)122212(1)(1)2iiiziiiii，则12zi，故zzi．故选：A．5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)ii对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】(13)(3)39368iiiii，则在复平面内，(13)(3)ii对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A．6．（2023•甲卷）35(1)((2)(2)iii)A．1B．1C．1iD．1i【答案】C【解析】35(1)5(1)1(2)(2)5iiiii．故选：C．7．（2023•乙卷）23|22|(ii)A．1B．2C．5D．5【答案】C【解析】由于2322|22||12|1(2)5iii．故选：C．8．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(ii)A．24iB．24iC．62iD．62i【答案】D【解析】2(22)(12)242462iiiiii．故选：D．9．（2022•甲卷）若13zi，则(1zzz)A．13iB．13iC．1333iD．1333i【答案】C【解析】13zi，2222||((1)(3))4zzz，则131314133ziizz．故选：C．10．（2022•乙卷）已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则()A．1a，2bB．1a，2bC．1a，2bD．1a，2b【答案】A【解析】因为12zi，且0zazb，所以(12)(12)(1)(22)0iaibabai，所以10220aba，解得1a，2b．故选：A．11．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1iz，则(zz)A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】由(1)1iz，得211iziii，1zi，则1zi，112zzii．故选：D．12．（2021•甲卷）已知2(1)32izi，则(z