模块四 数列（测试）（解析版）

模块四数列（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知nS是数列na的前n项和，若11a，112nnSa，则（）A．数列na是等比数列B．数列na是等差数列C．数列nS是等比数列D．数列nS是等差数列【答案】C【解析】因112nnSa①可得，当2n时，112nnSa②，于是，由①-②可得：111122nnnnSSaa，即11122nnnaaa，可得13nnaa，因11a，在112nnSa中，取1n，可得2122aS，即2123aa，故数列na不是等比数列，选项A，B错误；又因当*Nn时，都有11nnnaSS，代入112nnSa中，可得1()12nnnSSS，整理得：13nnSS，故数列nS是等比数列，即选项C正确，D错误.故选：C.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列na称为“斐波那契数列”．若把该数列na的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列nb，则数列nb的前2024项和是（）A．2275B．2276C．2277D．2278【答案】C【解析】1,1,2,3,5,8,13,，除以3所得余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0，即nb是周期为8的周期数列，因为20248253，1289bbb，所以数列nb的前2024项和为25392277.故选：C3．已知等比数列na的前n项积为nS，若11112S，则247aa（）A．16B．8C．6D．4【答案】B【解析】设等比数列na的公比为q，则11111112101162Saaaaa，则62a，所以2236476628aaaaqaq.故选：B.4．已知数列na的前n项和为nS，112nnnaS，12a，则nS（）A．12nnB．112nnC．12nnD．2nn【答案】D【解析】因为112nnnaS，则112nnnnSSS，整理得11122nnnnSS，又12a，则112a，因此数列2nnS是首项为1，公差为1的等差数列，则1(1)12nnSnn，所以2nnSn.故选：D.5．已知数列{}na通项公式为2322,7494,7nntnnann，若对任意*nN，都有1nnaa，则实数t的取值范围是（）A．[3,)tB．239[,)142tC．239(,)142tD．23[,)14t【答案】C【解析】当1,2,3,4,5,6n时，221312123226320nnaantnntnnt恒成立，所以263tn对1,2,3,4,5,6n恒成立，故9292tt，又当7,Nnn时，494nan为单调递增的数列，故要使对任意*nN，都有1nnaa，则87aa，即2489437142t，解得2314t，综上可得239(,)142t，故选:C6．已知等差数列na中，1100a，公差3d，前n项和为nS，则下列结论中错误的是（）A．数列nSn为等差数列B．当34n时，nS值取得最大C．存在不同的正整数,ij，使得ijSSD．所有满足101()ijaaij的正整数,ij中，当17,18ij时，ijaa值最大【答案】C【解析】2113203=222nnndnanSn，得320322nSnn，数列nSn为等差数列，A正确；当nS的对称轴为20333.86n，因为*Nn，所以当34n时，nS值取得最大，B正确；因为当nS的对称轴为20333.86n，且*Nn，因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数,ij，使得ijSS，C错误；由题可知1033nan，10331033101()ijaaijij，解得35ij，10331033106099309ijaaijijij，化简可得29315206ijiaai，根据二次函数性质可知当17.5i时，ijaa取最大值，因为*Ni，所以当17,18ij时，ijaa值最大，D正确.故选：C.7．若数列na满足111nndaa（*nN，d为常数），则称数列na为调和数列.已知数列21nx为调和数列，且222212320222022xxxx，则92014xx的最大值为（）A．2B．2C．22D．4【答案】B【解析】数列21nx为调和数列,故221nndxx，所以2nx为等差数列，由222212320222022xxxx，所以2212022202220222xx，故22120222xx，所以22920142xx，故22920149201422xxxx，故920141xx，由于229201492014920149201422224xxxxxxxx，当且仅当92014xx时等号成立，故92014xx的最大值为2，故选:B8．已知数列na的首项135a，且1321nnnaaa，121112025naaa，则满足条件的最大整数n（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】C【解析】因为1321nnnaaa，所以121112333nnnnaaaa，所以1111113nnaa，所以数列11na是等比数列，首项为121335，公比为13，所以1121112333nnna，即11213nna，所以1221112131331nnnSnaaa111331211313nnnn，而当*Nn时，nS单调递增，又因为202420241202520253S，且202520251202620253S，所以满足条件的最大整数2024n.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知数列na中，11a，12Nnnnaan，则下列结论正确的是（）A．413aB．na是递增数列C．101000aD．121nnaa【答案】BD【解析】由12nnnaa，可得11112222nnnnaa，则1111(1)222nnnnaa，又由11a，可得11122a，所以数列12nna表示首项为12，公比为12的等比数列，所以11111()()2222nnnna，所以21nna，由442115a，所以A不正确；由11212120nnnnnaa，即1nnaa，所以na是递增数列，所以B正确；由10102110231000a，所以C错误；由1121nna，121222121nnna，所以121nnaa，所以D正确.故选：BD.10．已知nS是等差数列na的前n项和，且70a，5100aa，则下列选项正确的是（）A．数列na为递减数列B．80aC．nS的最大值为7SD．140S【答案】ABC【解析】设等差数列na的公差为d，由于70a，5100aa，故571080aaaa，则80a，B正确；870daa，则数列na为递减数列，A正确，由以上分析可知127,,,0aaa，8n时，0na，故nS的最大值为7S，C正确；5101141414()14()202Saaaa，D错误，故选：ABC11．已知数列na满足11a，111122nnnnaaaa，则2023a的值可能为（）A．1B．1C．20222D．202212【答案】AD【解析】由111122nnnnaaaa可得11111111022nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，故110nnaa或120nnaa，当110nnaa时，则11nnaa，因此11a，故20231,1naa，若120nnaa时，则na为等比数列，且公比为12，则2022202312a故选：AD12．对于任意非零实数x，y﹐函数fx满足fxfyfxyfxfy，且fx在0,单调递减，11f，则下列结论正确的是（）A．122fB．2023202311222iifC．fx为奇函数D．fx在定义域内单调递减【答案】AC【解析】令12xy，则21122(1)11222ffff，解得122f，故A正确；因为11111212111121222222iiiiiifffff，即111222iiff，所以12if是以122f为首项，2为公比的等比数列，故202320232024112(12)22212iif，故B错误；由题意，函数fx的定义域为(,0)(0,)，关于原点对称，令2yx，则22fxfxfxfxfx，令x代换,xy，则()()()(2)2()2fxfxfxfxfx，由两式可得()()2()()()2fxfxfxfxfx，化简可得fxfx，所以()fx为奇函数，故C正确；因为()fx在0,单调递减，函数为奇函数，可得()fx在,0上单调递减，但是不能判断()fx在定义域上的单调性，例如1()fxx，故D错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，且1a，234a，3a成等差数列，若11a，则4S．【答案】15【解析】设等比数列na的公比为q，因为1a，234a，3a成等差数列，所以132324aaa，所以2111324qaaaq，因为11a，且各项均为正数，所以解得2q=，所以44121512S.故答案为：1514．设数列na的前n项和为nS，且18,,nnnnaaSSN.请写出一个满足条件的数列na的通项公式na.【答案】8n（答案不唯一）【解析】因为1,nnnaaN，则数列na递减，又8nSS，即8S最大，所以8nan符合．故答案为：8n（答案不唯一）15．已知数列na满足35a，14nnaan，则1021iia．【答案】4082【解析】因为14nnaan，所以124aa，238aa，又35a，所以23a，11a，因为14nnaan，所以1244nnaan，两式相减得24nn