模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）（测试）（解析版）

模块一基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合22,(1)4AxxBxx，则AB（）A．2xxB．12xxC．3xxD．13xx【答案】C【解析】因为2,13AxxBxx，所以3ABxx.故选：C2．已知集合4,AxxkkZ，41,BxxmmZ，42,CxxnnZ，43,DxxttZ，若aB，bC，则下列说法正确的是（）A．abAB．abBC．abCD．abD【答案】D【解析】因为aB，bC，则由题意可设41am，42bn，其中,mnZZ，则43abmn，且mnZ，故abD，故选：D．3．已知向量2,3,,1atbt，则“13t”是“a与b的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若a与b的夹角为锐角，则0ab且a与b不共线，所以21302130tttt，解得13t且12t，所以“13t”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B．4．“不等式2210axax恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．10aB．0aC．10aD．10a【答案】D【解析】当0a时，10恒成立，当0a时，则20440aaa，解得10a，综上所述，不等式2210axax恒成立时，10a，所以选项中“不等式2210axax恒成立”的一个充分不必要条件是10a.故选：D.5．设0x，则函数2225212xxyx的最小值为（）A．0B．12C．-1D．32【答案】C【解析】设21xt，1t，则12tx，221122225522223231212222ttxxttyxttt，当且仅当22tt，即2t时等号成立.故选：C.6．i是虚数单位，复数z满足1iiza，其中aR.p：“复数z在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是p的充分不必要条件的是（）A．1aB．1aC．11aD．01a【答案】D【解析】因为1iiza，则i1ii11i1i222aaaaz，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则1010aa，解得11a，即p：11a，因为选项中只有|01aa为|11aa的真子集，所以选项中只有01a是p的充分不必要条件.故选：D.7．已知关于x的不等式组222802(27)70xxxkxk仅有一个整数解，则k的取值范围为（）A．(5,3)(4,5)B．[5,3)(4,5]C．(5,3][4,5)D．[5,3][4,5]【答案】B【解析】由2280xx，可得4x或2x，由22(27)70xkxk，即(27)()0xxk，得172x=-，2xk，当72k，即72k时，不等式22(27)70xkxk的解为72kx，此时不等式组222802(27)70xxxkxk的解集为7(,)2k，又因为不等式组仅有一个整数解，则54k，解得45k；当72k，即72k时，不等式22(27)70xkxk的解为72xk，又因为不等式组仅有一个整数解，则35k，解得53k；综上所述，k的取值范围为[5,3)(4,5].故选：B.8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的,abS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的.若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，TVZ．若任意的,,abcT，有abcT，同时，任意的,,xyzV，有xyzV，则下列结论恒成立的是()A．T、V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T、V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T、V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T、V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知()ZA表示集合A的整数元素的个数，若集合2910,{|lg(1)1}MxxxNxx∣（）A．()10ZMB．{111}MNxx∣C．()9ZND．R{1011}MNxx∣ð【答案】ACD【解析】由29101010110xxxxx，因此29101,10Mxxx∣，由10lg11111110xxxx，因此{|lg(1)1}1,11Nxx.A：因为集合M中的整数有0,1,2,3,9，共10个，所以()10ZM，因此本选项正确；B：因为{111}MNxx∣，所以本选项不正确；C：因为集合N中的整数有2,3,10，共9个，所以()9ZN，因此本选项正确；D：因为1,10M，所以R,110,Mð，因为1,11N，所以R{1011}MNxx∣ð，因此本选项正确，故选：ACD10．下列结论正确的是（）A．若a，b为正实数，ab，则3322abababB．若a，b，m为正实数，ab，则amabmbC．若,abR，则“0ab”是“11ab”的充分不必要条件D．不等式1xm成立的充分不必要条件是1132x，则m的取值范围是14,23【答案】ACD【解析】对于A，因为a，b为正实数，ab，所以3322222()()()()()0abababaabbbaabab，所以3322ababab，故A正确；对于B，因为a，b，m为正实数，ab，所以()()()0()()amabamabmmbabmbbbmbbm，所以amabmb，故B错误；对于C，由110baabab，可得0baab或0baab，故由0ab可得11ab，但是11ab不一定得到0ab，故“0ab”是“11ab”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由1xm可得11mxm，由于1xm成立的充分不必要条件是1132x，所以113112mm或113112mm，解得1423m，故D正确．故选：ACD11．设1z，2z，3z是复数，则下列说法中正确的是（）A．若120zz，则10z或20zB．若1213zzzz且10z，则23zzC．若12zz，则1122zzzzD．若12zz，则2212zz【答案】ABC【解析】对于A：120zz，则12120zzzz，则10z或20z，即10z或20z，故A正确；对于B：1213zzzz，12131230zzzzzzz，且10z，所以230zz，23zz，故B正确；对于C：设i,,Rzabab，则izab，222zzabz，22111222zzzzzz，故C正确；对于D，取11iz，21iz，则12||||2zz，但2211i2iz，2221i2iz，则2212zz，故D错误．故选：ABC12．若0a，0b，且21ab，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值18B．2ab有最大值2C．1aab有最小值4D．224ab有最小值22【答案】AC【解析】对于A，2211122248ababab，当且仅当122ab时取等号，所以ab有最大值18，故A正确；对于B，因为222abab，所以2222222abababab，所以2222abab，当且仅当122ab时取等号，所以2ab有最大值2，故B错误；对于C，122224aabababaabababab，当且仅当baab，即13ab时取等号，所以1aab有最小值4，故C正确；对于D，因为22422abab，所以22222224422abbababa，所以22224212abab，当且仅当122ab时取等号，所以224ab有最小值12，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设命题p：Rx，210axx.写出一个实数a，使得p为真命题.【答案】0(答案不唯一)【解析】若p正确，0a时,10x有解，0a时,则0Δ0a或0a，所以10,,04a，综上，p真，则14a，即14a中任取一个值都可以.故答案为：0(答案不唯一)14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为．【答案】20【解析】首先设Axx是会打乒乓球的教师}，Bxx是会打羽毛球球的教师}，Cxx是会打蓝球的教师}，根据题意得card30A，card60B，card20C，card80ABC，card5ABC，再使用三元容斥原理得：cardcardcardcardcardcardABCABCABBCcardcardCAABC，有cardcardcard35ABBCCA，而cardcardcardABBCCA中把ABC的区域计算了3次，于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为353520.故答案为：20.15．若复数z满足2Rzz，则iz的最小值为【答案】21/12【解析】设izab，（,ab不同时为0），2222222i2222i+i+iiababzabababzabababab，由题意可知2220bbab，得0b或222ab，当0b时，z的轨迹是x轴（除原点外），此时iz的几何意义表示复数表示的点和0,1的距离，此时i1z，当222ab时，复数z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，iz的几何意义是圆上的点到0,1的距离，如图可知，iz的最小值是点A与0,1的距离21.故答案为：21.16．已知正实数a，b满足221ab，则114422abab的最小值为．【答案】12【解析】因为正实数a，b满足221ab，故221022abab，当且仅当ab时等号成立，故111224416224ab