专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大题型）（练习）（解析版）

专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类目录01阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.....................................................................................................................202蒙日圆....................................................................................................................................................403阿基米德三角形....................................................................................................................................604仿射变换问题......................................................................................................................................1005圆锥曲线第二定义..............................................................................................................................1206焦半径问题..........................................................................................................................................1507圆锥曲线第三定义..............................................................................................................................1808定比点差法与点差法..........................................................................................................................2009切线问题..............................................................................................................................................2410焦点三角形问题..................................................................................................................................2711焦点弦问题...........................................................................................................................................2912圆锥曲线与张角问题..........................................................................................................................3113圆锥曲线与角平分线问题...................................................................................................................3314圆锥曲线与通径问题..........................................................................................................................3715圆锥曲线的光学性质问题...................................................................................................................3916圆锥曲线与四心问题..........................................................................................................................4101阿波罗尼斯圆与圆锥曲线1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为(0,1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22:1Oxy、点1,02A和点10,2B，M为圆O上的动点，则2||||MAMB的最大值为（）A．52B．172C．32D．22【答案】B【解析】设,Mxy，令2MAMC，则12MAMC，由题知圆221xy是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且12，设点,Cmn，则22221212xyMAMCxmyn，整理得：22222421333mnmnxyxy，比较两方程可得：2403m，203n，22113mn，即2m，0n，点2,0C，当点M位于图中1M的位置时，2||||||||MAMBMCMB的值最大，最大为172BC.故选：B.2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点A，B及动点P，若PBPA（0且1），则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知0,0O，20,2Q，直线1:230lkxyk，直线2:320lxkyk，若P为1l，2l的交点，则32POPQ的最小值为（）A．33B．632C．932D．36【答案】A【解析】由已知1:230lkxyk过定点2,3C，2:320lxkyk过定点2,3D，因为1lkk，21lkk，所以121llkk，即12ll，所以点P的轨迹是以CD为直径的圆，除去D点，故圆心为2,0，半径为3，则P的轨迹方程为22293xyy，即22453xyxy，易知O、Q在该圆内，又2222222239954595459224444444POxyxyxyxy，即2222325553242POxxyxyy，取5,02A，则32POPA，又22523300222AQ，所以332222332POPQPOPQPAPQAQ，所以32POPQ的最小值为33.故选：A.3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点,AB的距离之比为定值(0，且1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，2,0,4,0AB，点P满足12PAPB.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法错误的是（）A．C的方程为22(4)16xyB．当,,ABP三点不共线时，则APOBPOC．在C上存在点M，使得||2||MOMAD．若2,2D，则2PBPD的最小值为45【答案】C【解析】设,Pxy，由12PAPB，得22222124xyxy，化简得22(4)16xy，故A正确；当,,ABP三点不共线时，12OAPAOBPB，所以PO是APB的角平分线，所以APOBPO，故B正确；设,Mxy,则222222xyxy，化简得22816()39xy，因为22844(4)004333，所以C上不存在点M，使得||2||MOMA，故C错误；因为12PAPB，所以2PBPA，所以222245PAPBPDPDAD，当且仅当P在线段AD上时，等号成立，故D正确.故选：C.02蒙日圆4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：22221xyab（0ab）的蒙日圆为2224:3Cxya，则椭圆Γ的离心率为（）A．22B．32C．33D．63【答案】D【解析】如图，,ACBC分别与椭圆相切，显然ACBC.所以点,Cab在蒙日圆22243xya上，所以22243aba，所以223ab，即33ba，所以椭圆的离心率2613cbeaa.故选：D5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：221(0)1xyaaa的离心率为13，则椭圆C的蒙日圆的方程为（）A．2219xyB．2217xyC．2215xyD．2214xy【答案】B【解析】因为椭圆C：2211xyaa(0)a的离心率为13，则1131a，解得8a，即椭圆C的方程为22198xy+=，于是椭圆的上顶点(0,22)A，右顶点(3,0)B，经过,AB两点的椭圆切线方程分别为22y，3x，则两条切线的交点坐标为(3,22)，显然这两条切线互相垂直，因此点(3,22)在椭圆C的蒙日圆上，圆心为椭圆C的中心O，椭圆C的蒙日圆半径223(22)17r，所以椭圆C的蒙日圆方程为2217xy.故选：B6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线2222:1xyCab的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，22ab为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为22154xy，P是直线:230lxy上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M、N两点，O是坐标原点，连接OP，当MPN为直角时，则OPk（）A．34或43B．125或0C．95或125D．43或0【答案】D【解析】根据蒙日圆定义，圆O方程为22229xyab，因为直线l与圆O交于A、B两点，联立222309xyxy，可得1195125xy或2230xy，即点912,55A、3,0B，当点P与点A或B重合时，MPN为直角，且1245935OAk，0OBk，所以，直线OP