专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】【题型1导数的定义及其应用】...........................................................................................................................2【题型2求（复合）函数的导数的方法】............................................................................................................3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】............................................................................................................5【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】............................................................................6【题型5已知切线（斜率）求参数】...................................................................................................................8【题型6切线的条数问题】...................................................................................................................................9【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】..................................................................................11【题型8与切线有关的最值问题】.....................................................................................................................131、导数的几何意义与运算导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2复合函数的导数】1.复合函数的定义一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【题型1导数的定义及其应用】【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔ𝑥→0𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥)Δ𝑥=−2，则𝑓′(−2)=（）A．1B．-1C．2D．-2【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.【解答过程】limΔ𝑥→0𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2−Δ𝑥)Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2)+[𝑓(−2)−𝑓(−2−Δ𝑥)]Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(−2+Δ𝑥)−𝑓(−2)Δ𝑥+limΔ𝑥→0𝑓(−2)−𝑓(−2−Δ𝑥)Δ𝑥=2𝑓′(−2)=−2，所以𝑓′(−2)=−1.故选：B.【变式1-1】（2022·高二课时练习）设𝑓(𝑥)是可导函数，且lim𝛥𝑥→0𝑓(𝑥0−2𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)𝛥𝑥=2，则𝑓′(𝑥0)=（）A．12B．-1C．0D．-2【解题思路】根据导数定义，即可求出．【解答过程】因为lim𝛥𝑥→0𝑓(𝑥0−2𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)𝛥𝑥=−2lim𝛥𝑥→0𝑓(𝑥0−2𝛥𝑥)−𝑓(𝑥0)−2𝛥𝑥=−2𝑓′(𝑥0)=2，所以𝑓′(𝑥0)=−1，故选：B.【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积𝑉(cm3)与时间𝑡(s)的函数关系是𝑉(𝑡)，则函数𝑦=𝑉(𝑡)的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.【解答过程】通过几何体的特征可得，容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；即函数图象的切线斜率先增大后减小，故选：A.【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数𝑓(𝑥)在点𝑥0处附近有定义，且𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)=𝑎Δ𝑥+𝑏(Δ𝑥)2,𝑎,𝑏为常数，则（）A．𝑓′(𝑥)=𝑎B．𝑓′(𝑥)=𝑏C．𝑓′(𝑥0)=𝑎D．𝑓′(𝑥0)=𝑏【解题思路】由导函数的定义可得选项.【解答过程】解：因为𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)=𝑎Δ𝑥+𝑏(Δ𝑥)2,𝑎,𝑏为常数，所以𝑓′(𝑥0)=limΔ𝑥→0(𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)Δ𝑥)=limΔ𝑥→0(𝑎+𝑏Δ𝑥)=𝑎，故选：C.【题型2求（复合）函数的导数的方法】【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=log21𝑥的导函数为（）A．𝑓′(𝑥)=ln2𝑥B．𝑓′(𝑥)=1𝑥ln2C．𝑓′(𝑥)=−ln2𝑥D．𝑓′(𝑥)=−1𝑥ln2【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【解答过程】依题知，1𝑥0，即𝑥0，由求导公式：log𝑎′𝑥=1𝑥ln𝑎，复合函数的求导法则：设𝑢=𝑔(𝑥)，则𝑓′(𝑔(𝑥))=𝑓′(𝑢)⋅𝑔′(𝑥)得：𝑓′(𝑥)=11𝑥ln2×(1𝑥)′=𝑥ln2×(−1𝑥2)=−1𝑥ln2，故选：D.【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（）A．(3𝑥)′=3𝑥ln3B．(𝑥2ln𝑥)′=2𝑥ln𝑥+𝑥C．(cos𝑥𝑥)′=𝑥sin𝑥−cos𝑥𝑥2D．(2ln(𝑥2+1))′=2𝑥ln2𝑥2+1⋅2ln(𝑥2+1)【解题思路】根据求导运算法则得到答案.【解答过程】A选项，(3𝑥)′=3𝑥ln3，A正确；B选项，(𝑥2ln𝑥)′=2𝑥ln𝑥+𝑥2⋅1𝑥=2𝑥ln𝑥+𝑥，B正确；C选项，(cos𝑥𝑥)′=−𝑥sin𝑥−cos𝑥𝑥2，C错误；D选项，(2ln(𝑥2+1))′=2ln(𝑥2+1)ln2⋅1𝑥2+1⋅(𝑥2+1)′=2𝑥ln2𝑥2+1⋅2ln(𝑥2+1)，D正确.故选：C.【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑓′(π4)cos2𝑥+sin𝑥，则𝑓(𝑥)在𝑥=π4处的导数为（）A．√26B．√24C．√22D．−√22【解题思路】对𝑓(𝑥)求导，将𝑥=π4代入求𝑓′(π4)即可.【解答过程】由已知可得𝑓′(𝑥)=−2𝑓′(π4)sin2𝑥+cos𝑥，所以𝑓′(π4)=−2𝑓′(π4)sin(2×π4)+cosπ4，所以𝑓′(π4)=√26故选：A.【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1，其导函数记为𝑓′(𝑥)，则𝑓(389)+𝑓′(389)+𝑓(−389)−𝑓′(−389)=（）A．2B．−2C．3D．−3【解题思路】函数𝑓(𝑥)=1+2𝑥+sin𝑥𝑥2+1，分析其性质可求𝑓(389)+𝑓(−389)的值，再求𝑓′(𝑥)并讨论其性质即可作答.【解答过程】由已知得𝑓(𝑥)=1+2𝑥+sin𝑥𝑥2+1，则𝑓′(𝑥)=(2+cos𝑥)(𝑥2+1)−(2𝑥+sin𝑥)⋅2𝑥(𝑥2+1)2，显然𝑓′(𝑥)为偶函数.令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−1=2𝑥+sin𝑥𝑥2+1，显然𝑔(𝑥)为奇函数.又𝑓′(𝑥)为偶函数，所以𝑓′(389)−𝑓′(−389)=0，𝑓(389)+𝑓(−389)=𝑔(389)+1+𝑔(−389)+1=2，所以𝑓(389)+𝑓′(389)+𝑓(−389)−𝑓′(−389)=2.故选：A.【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥在𝑥=0处的切线为𝑙，则𝑙的斜率为（）A．ln2B．−ln2C．1D．−1【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.【解答过程】对𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥求导得，𝑓′(𝑥)=(ln2)×2𝑥⋅cos𝑥−2𝑥⋅sin𝑥，由题意曲线𝑓(𝑥)=2𝑥cos𝑥在𝑥=0处的切线𝑙的斜率为𝑘𝑙=𝑓′(0)=(ln2)×20⋅cos0−20⋅sin0=ln2.故选：A.【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线𝑦=𝑘𝑥+𝑛与曲线𝑦=ln𝑥+1𝑥相切，则k的取值范围是（）A．(−∞,14]B．[4,+∞)C．[−4,+∞)D．[14,+∞)【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.【解答过程】𝑦′=1𝑥−1𝑥2=−(1𝑥−12)2+14≤14，由导数的几何意义可知，𝑘≤14.故选：A.【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑃(1,𝑓(1))处的切线如图所示，则𝑓(1)+𝑓′(1)=（）A．0B．12C．32D．-12【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,−1)，利用斜率公式求得𝑓′(1)，写出切线方程，再令𝑥=1，求得𝑓(1)即可.【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,−1)，所以𝑓′(1)=0+12−0=12，所以切线方程为𝑦=12𝑥−1，令𝑥=1，则𝑦=−12，所以𝑓(1)=−12，所以𝑓(1)+𝑓′(1)=−12+12=0.故选：A.【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点𝑃是函数𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑓′(1)𝑥+𝑓′(2)图象上的任意一点，点𝑃处切线的倾斜角为𝛼，则角𝛼的取值范围是（）A．[0,3π4)B．[0,π2)∪[3π4