专题2.1 函数的解析式与定义域、值域【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题2.1函数的解析式与定义域、值域【七大题型】【新高考专用】【题型1具体函数的定义域的求解】...................................................................................................................2【题型2抽象函数的定义域的求解】...................................................................................................................3【题型3已知函数定义域求参数】.......................................................................................................................4【题型4已知函数类型求解析式】.......................................................................................................................6【题型5已知f(g(x))求解析式】............................................................................................................................8【题型6函数值域的求解】.................................................................................................................................10【题型7根据函数的值域或最值求参数】..........................................................................................................121、函数的解析式与定义域、值域函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.【知识点1函数的定义域的求法】1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【知识点2函数解析式的四种求法】1.函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【知识点3求函数值域的一般方法】1．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.【题型1具体函数的定义域的求解】【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=√3−𝑥𝑥−1的定义域为（）A．(−∞,3]B．(1,+∞)C．(1,3]D．(−∞,1)∪[3,+∞)【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得{(3−𝑥)(𝑥−1)≥0𝑥−1≠0，解得1𝑥≤3，则定义域为(1,3]，故选：C.【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=√2-𝑥+1𝑥-1的定义域为()A．(-∞,1]B．(1,2]C．(-∞,2]D．(-∞,1)∪(1,2]【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可【解答过程】由题知{2-𝑥⩾0𝑥-1≠0,解得𝑥⩽2且𝑥≠1即函数𝑓(𝑥)=√2-𝑥+1𝑥-1的定义域为(-∞,1)∪(1,2]故选：D.【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)0+√3−𝑥+2𝑥−1的定义域为（）A．(−∞,1)∪[2,3)B．(−1,2)∪(3,+∞)C．(−∞,1)∪(1,3)D．(−1,2)∪(2,3]【解题思路】根据题意可得，{𝑥−3≠03−𝑥≥0𝑥−1≠0，求解即可.【解答过程】根据题意可得，{𝑥−3≠03−𝑥≥0𝑥−1≠0，解得𝑥3且𝑥≠1，所以函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)0+√3−𝑥+2𝑥−1的定义域为(−∞,1)∪(1,3).故选：C.【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[0,4]，则函数𝑦=𝑓(𝑥+1)√𝑥−1+(𝑥−2)0的定义域是（）A．(1,5]B．(1,2)∪(2,5)C．(1,2)∪(2,3]D．(1,3]【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.【解答过程】因为函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[0,4]，又函数𝑦=𝑓(𝑥+1)√𝑥−1+(𝑥−2)0有意义，则有{0≤𝑥+1≤4𝑥−10𝑥−2≠0，解得1𝑥2或2𝑥≤3，所以函数𝑦=𝑓(𝑥+1)√𝑥−1+(𝑥−2)0的定义域是(1,2)∪(2,3].故选：C.【题型2抽象函数的定义域的求解】【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数𝑦=𝑓(2𝑥)的定义域为[−2,4]，则𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)的定义域为（）A．[−2,2]B．[−2,4]C．[−4,4]D．[−8,8]【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数𝑓(𝑥)的定义域，对于函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)，可列出关于𝑥的不等式组，由此可得出函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)的定义域.【解答过程】因为函数𝑦=𝑓(2𝑥)的定义域为[−2,4]，则−2≤𝑥≤4，可得−4≤2𝑥≤8，所以，函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[−4,8]，对于函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)，则有{−4≤𝑥≤8−4≤−𝑥≤8，解得−4≤𝑥≤4，因此，函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)的定义域为[−4,4].故选：C.【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数𝑓(2𝑥−1)的定义域为[−3,1]，则𝑦=𝑓(3−4𝑥)√𝑥−1的定义域为（）A．{1}B．(1,32]C．(32,52]D．(1,52]【解题思路】根据题意先求得函数𝑓(𝑥)的定义域为[−7,1]，然后结合抽象函数定义域与√𝑥−1求解即可；【解答过程】由题意可知−3≤𝑥≤1，所以−7≤2𝑥−1≤1，要使函数𝑦=𝑓(3−4𝑥)√𝑥−1有意义，则{−7≤3−4𝑥≤1,𝑥−10,解得1𝑥≤52.故选：D.【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数𝑓(𝑥+1)的定义域为[1,7]，则函数ℎ(𝑥)=𝑓(2𝑥)+√9−𝑥2的定义域为（）A．[4,16]B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．[1,3]D．[3,4]【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】函数𝑓(𝑥+1)的定义域为[1,7]，则2≤𝑥+1≤8，因此在𝑓(2𝑥)中，2≤2𝑥≤8，函数ℎ(𝑥)=𝑓(2𝑥)+√9−𝑥2有意义，必有{2≤2𝑥≤89−𝑥2≥0，解得1≤𝑥≤3，所以函数ℎ(𝑥)的定义域为[1,3].故选：C.【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,1)，若𝑐∈(0,12)，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑐)+𝑓(𝑥−𝑐)的定义域为（）A．(−𝑐,1−𝑐)B．(𝑐,1−𝑐)C．(1−𝑐,𝑐)D．(𝑐,1+𝑐)【解题思路】由已知函数的定义域有{0𝑥+𝑐10𝑥−𝑐1，即可求复合函数的定义域.【解答过程】由题意得：{0𝑥+𝑐10𝑥−𝑐1，即{−𝑐𝑥1−𝑐𝑐𝑥1+𝑐，又𝑐∈(0,12)，∴𝑐𝑥1−𝑐．故选：B.【题型3已知函数定义域求参数】【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+(𝑚−3)𝑥+1的定义域为R，则实数𝑚的取值范围是（）A．[1,9]B．(1,9)C．(−∞,1]∪[9,+∞)D．{3}【解题思路】利用题给条件列出关于𝑚的不等式，解之即可求得实数𝑚的取值范围.【解答过程】由题意得𝑚𝑥2+(𝑚−3)𝑥+1≥0对任意𝑥∈R恒成立，当𝑚=0时，不等式可化为−3𝑥+1≥0，其解集不是R，不符合题意；当𝑚≠0时，由该不等式恒成立可得{𝑚0(𝑚−3)2−4𝑚≤0，解之得1≤𝑚≤9，综上，实数𝑚的取值范围是1≤𝑚≤9故选：A.【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数𝑦=√𝑎𝑥+1在区间[−2,−1]上有意义，则实数a的可能取值是()A．1B．2C．3D．4【解题思路】分𝑎0，𝑎=0，𝑎0，求出不等式𝑎𝑥+1≥0的解，即可得出答案.【解答过程】当𝑎0时，由𝑎𝑥+1≥0可得，𝑥≥−𝑎或𝑥0，在区间[−2,−1]上有意义，满足；当𝑎=0时，函数𝑦=1(𝑥≠0)，显然在区间[−2,−1]上有意义，满足题意；当𝑎0时，由𝑎𝑥+1≥0可得，𝑥≤−𝑎或𝑥0，要使函数在区间[−2,−1]上有意义，则应有−𝑎≥−1，所以，𝑎≤1，所以0𝑎≤1.综上所述，𝑎≤1.故选：A.【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数𝑓(𝑥)=√(𝑎2−1)𝑥2+(𝑎+1)𝑥+1的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[−1,53]B．(−∞,−1)∪[53,+∞)C．[53,+∞)D．(−∞,−1]∪[53,+∞)【解题思路】分𝑎=1、𝑎=−1、𝑎≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=√2𝑥+1，则2𝑥+1≥0，得𝑥≥−12，即定义域为[−12,+∞)，不符合题意；当𝑎=−1时，𝑓(𝑥)=1，定义域为R，符合题意；当𝑎≠±1时，由题意得关于x的不等式(𝑎2−1)𝑥2+(𝑎+1)𝑥+1≥0恒成立，故{𝑎2−10Δ=(𝑎+1)2−4(𝑎2−1)≤0，解得𝑎−1或𝑎≥53.综上，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[53,+∞).故选：D.【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=√𝑥2−3𝑥−𝑚√𝑥−1(𝑚∈R)(1)若𝑓(2)=2，求实数m及�