专题01 解三角形（解答题10种考法）（精练）（解析版）

专题01解三角形（解答题10种考法）1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，,120,2,ABBCADCABCDADACD△的面积为32．(1)求sinCAB；(2)证明：CABCAD．【答案】(1)217(2)证明见解析【解析】（1）设22,0CDADaa，因为ACD的面积为3,1202ADC，所以132sin12022aa，解得1a，所以2,1ABCDAD．在ACD中，由余弦定理得222ACADCD2cos120ADCD11422172，所以7AC．在RtABC△中，,2ABBCAB，所以22743BCACAB，所以321sin77BCCABAC；（2）由（1）可得2,7CDAC，在ACD中，由正弦定理得sinsinCDACCADADC，所以32sin212sin77CDADCCADAC，且060CAD．由（1）可得21sin7CAB，又090CAB，所以CABCAD．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且24cos4cosaBcbA．(1)求c的值；(2)若π3C，42ab，求ABC的面积．【答案】(1)4c；(2)433.【解析】（1）依题意，24cos4cosaBbAc，由正弦定理得，4sincos4sincos4sin4sinsinABBAABCcC，而sin0C，故4c．（2）由余弦定理得，22222cos()332316cababCababab，得163ab，故143sin23ABCSabC△．3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知梯形ABCD中，,2ADBCABAD∥.(1)若ππ,64ADBC，求CD的值；(2)若90BDC，设ABD△的面积为S，求122SBDBC的最大值.【答案】(1)6(2)424.【解析】（1）解：如图所示：根据题意：π2,6ABADADB，2π3A，由余弦定理可得：2222cos12BDABADABADA，23BD，又π,4CADBC∥，在BCD△中，利用正弦定理可得：sinsinCDBDCBDC，所以231sin6sin222BDCDCBDC.（2）设,ADBCBDADB，11sin22sin22sin222SABADA，2|cos|BDBCBDBCCBDBD，在ABD△中，由余弦定理可得：222||2cos288cos2BDABADABAD，124sin244cos242sin2424SBDBC，当π8时，122SBDBC取最大值，且为424.4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC外接圆的半径为3，且sinsinsinsinbCabcABC．(1)求A及a的值；(2)若2BCBP，求线段AP长度的取值范围．【答案】(1)π3A，3a(2)2133,22【解析】（1）因为sinsinsinsinbCabcABC，由正弦定理可得bcabcabc，则222222bcabcabcabcbcbca，即222bcbca，由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc，且π0,2A，则π3A，又因为ABC外接圆的半径3R，所以2sin3aRA．（2）设APt，0t，因为2BCBP，即点P为BC边的中点，则2APABAC，两边同时平方得22242cosAPABACABACA，即2224tcbbc，由（1）可知：222bcbca，即222bcabc，可得2242tabc，即2942bct，又因为ABC外接圆的半径3R，由正弦定理得23sinbB，23sincC，即12sinsinbcBC，则299152π6sinsin3coscos3cos24443tBCBCBCC．因为ABC为锐角三角形，则π02B，π02C，即2ππ032C，π02C，可得ππ62C，则π2ππ2333C，可得12πcos2123C，则2212744t，即213322t，所以线段AP长度的取值范围为2133,22．5．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆O交于点13,22P，将OP绕原点O按逆时针方向旋转2后与圆O交于点Q.(1)求Qy；(2)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a，2b，sinQAy，求ABCS.【答案】(1)12Qy(2)312ABCS△或312ABCS△.【解析】（1）由题知1cos2，3sin2，所以1sincos22Qy；（2）由题知2a，2b，1sin2A，,0,AB，且ab，所以AB，而1sin2A，则6A，故3cos2A，由正弦定理可知2222cosabcbcA，整理得22320cc，解得31c，故131sin22ABCSbcA△，或312ABCS△.6．（2021·江苏南通·一模）在①2sinsin2sincosABCB，②sinsinsinacACBab，③1sinsinsin2ABCScaAbBcC△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若2c，求2ab的取值范围．【答案】(1)π3(2)2,4【解析】（1）若选①：2sinsin2sincosABCB，则2sinsin2sincosBCBCB，∴2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB∴2sincossin0BCB∵0,πB，sin0B，∴1cos2C，∵0,πC，∴π3C.若选②：sinsinsinacACBab，由正弦定理得acacbab，∴222abcab，∴2221cos22abcCab，∵0,πC，∴π3C．若选③：1sinsinsin2ABCScaAbBcC△，则sinsinsin12sn12iCABbcabCac，由正弦定理得2221122abccabc，∴∴222abcab，∴2221cos22abcCab，∵0,πC，∴π3C．（2）由正弦定理得43sinsinsin3abcABC，4343sin,sin33aAbB，则83438343πsinsinsinsin333323ABAAab，π23sin2cos4sin6AAA，∵2π0,3A，πππ,662A，π16sin,12A，∴22,4ab.7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，ABAC，2ACAB，3AD.(1)若4BD，2cos3ADB，求cosDAC的值；(2)若26BD，求CD的最小值.【答案】(1)459(2)3【解析】（1）因为3AD，4BD，2cos3ADB，在ABD△中，由余弦定理得2222222cos3423493ABADBDADBDADB，所以3AB，由2cos3ADB得sin35ADB.由正弦定理得sinsinBDABDABADB,所以343πsin25DAC,所以495cos5DAC,所以4cos59DAC.（2）在ABD△中，由sinsinABBDADBBAD得sin26sinABBADADB①，又2222cos33126cosABADBDADBDADBADB②，且π2BADDAC，所以πcoscos()sin2DACBADBAD,在DAC△中22222cos9262sinCDADACADACDACABABBAD，将①，②代入上式得2752432cossin7572sinCDADBADBADB.且tan2，所以，当sin1ADB时，2CD有最小值3.所以CD取最小值3.综上，CD的最小值为3.8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sincosabAB，3a．(1)若BC边上的高等于1，求cosA；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积的取值范围．【答案】(1)1010(2)99,42【解析】（1）由正弦定理，sincossinabbABB，所以sincosBB，则tan1B，又0πB，所以π4B，因为11sin22ABCSahacB，所以112313222c，解得2c，又由余弦定理，2222222cos3223252bacacB，解得5b，所以22222252310cos210252bcaAbc．（2）由正弦定理有3sinsinsincaCAA，且由（1）可知π4B，所以π3sin3sin32141sinsintan2ACcAAA，又因为锐角ABC，所以3ππ042π02AA，解得ππ42A，所以101tanA，所以32232c，所以1123299sin3,222442ABCSacBcc△，所以ABC面积的取值范围是99,42．9．（2023·海南·统考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sincos1,sin4sin4sin2AAacACcA．(1)求边长a和角A；(2)求ABC的面积的最大值，并判断此时ABC的形状．【答案】(1)2a，π3A(2)3，等边三角形【解析】（1）解：sin4sin4sinacACcA，由正弦定理得244accac．220,44,(2)0,caaa可得2a．由sincos12AA，得1cos1cos2AA，得22cos3cos10AA，得1cos2A或cos1A，故π3A或0（舍去）．（2）由余弦定理可知，222abc2cosbcA，由（1）可得224bcbcbc，则113sin43222ABCSbcA，当且仅当2bc时等号成立，即ABC面积的最大值为3，此时ABC为等边三角形．10．（2023·河北唐山·模拟预测）在ABC中，3,2,ABACD为BC边上一点，且AD平分BAC．(1)若3BC，求CD与AD；(2)若60ADC，设BAD，求tan．【答案】(1)65CD，465AD(2)3tan5【解析】（1）如下图所示：因为AD平分BAC，所以1sin3212sin2ABDACDABADBADSABSACACADCAD，又因为D在BC上，