专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）（解析版）

专题05函数性质的综合运用（选填题7种考法）考法一函数的单调性【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数2xxafx在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A．,2B．2,0C．0,2D．2,【答案】D【解析】函数2xy在R上单调递增，而函数2xxafx在区间0,1上单调递减，则有函数22()()24aayxxax在区间0,1上单调递减，因此12a，解得2a，所以a的取值范围是2,.故选：D【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知0a，且1a，函数3,2log11,2aaxxfxxx在R上单调，则a的取值范围是（）A．1,B．12,33C．2,13D．1,13【答案】D【解析】因为函数fx在R上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，故yfx在R上单调递减，所以0132log11aaa，解得：113a.故选：D.【变式】1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间0,上单调递增的是（）A．2yxx=-B．exyxC．lnyxxD．yxx【答案】B【解析】对于A，函数图象的对称轴为12x，函数在10,2上单调递减，在1,2上单调递增，故A错误；对于B，当0,x时，e10xy，所以函数在0,上单调递增，故B正确；对于C，111xyxx，函数在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故C错误；对于D，当0x时，0y是常数函数，D错误，故选：B.2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间0,上单调递增的是（）A．21yxB．2exyC．21yxD．lgyx【答案】D【解析】对于A选项：当0,x时，21yx的导函数为320yx，所以21yx在0,x时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当0,x时，2exy的导函数为22e0xy，所以2exy在0,x时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当0,x时，21yx的导函数为20yx，所以21yx在0,x时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当0,x时，lglgyxx的导函数为10ln10yx，所以21yx在0,x时单调递增，又函数lgyx的定义域为,00,U，且lglgfxxxfx，故D选项符合题意.故选：D.3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A．3()fxxB．3()fxxxC．()22xxfxD．()ln|1|ln|1|fxxx【答案】C【解析】A选项，3()fxx在R上单调递减，不合题意；B选项，3()fxxx，2()31xfx，当33,33x时，()0fx，()fx单调递减，不合题意；C选项，()22xxfx，定义域为R，()2222()xxxxfxfx，函数为奇函数，由函数2xy和2xy都是R上的增函数，所以()fx为R上的增函数，C选项正确；D选项，2()ln1ln1ln1fxxxx，当1x时，结合二次函数性质可知，函数21yx单调递减，则()fx单调递减，不合题意.故选：C.4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数()fx在R上单调递增，函数()gx在(,0)上单调递增，在[0,)上单调递减，则（）A．函数(())ffx在R上单调递增B．函数(())fgx在(,0)上单调递增C．函数(())ggx在(,0)上单调递减D．函数(())gfx在[0,)上单调递减【答案】AB【解析】因为()fx在R上单调递增，所以(())ffx在R上单调递增，故A正确；因为()fx在R上单调递增，()gx在(,0)上单调递增，所以(())fgx在(,0)上单调递增，故B正确；因为()gx在(,0)上单调递增，所以()gx在(,0)上单调递减，因为()gx的值域是否在(,0)上无法判断，所以(())ggx在(,0)上的单调性无法判断，故C错误；因为()fx在R上单调递减，()gx在[0,)上单调递减，因()fx的值域是否在[0,)上无法判断，所以(())gfx在[0,)上的单调性无法判断，故D错误.故选：AB.考法二函数的奇偶性【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知e()e1xaxxfx是偶函数，则a（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】因为ee1xaxxfx为偶函数，则1eeee0e1e1e1axxxxaxaxaxxxxfxfx，又因为x不恒为0，可得1ee0axx，即1eeaxx，则1xax，即11a，解得2a.故选：D.【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数fx在其定义域2,3aaa上是奇函数，则a的值为（）A．1B．3C．1或3D．不能确定【答案】B【解析】函数fx在其定义域2,3aaa上是奇函数，由于奇函数定义域关于原点对称，所以230aaa，即310aa，解得3a或1a，由区间定义可知23aaa，当1a时，23aaa，不合题意；当3a时，23aaa，符合题意；可得3a.故选：B．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）若21ln21xfxxax为偶函数，则a（）．A．1B．0C．12D．1【答案】B【解析】因为()fx为偶函数，则1(1)(1)(1)ln(1)ln33ffaa，，解得0a，当0a时，21ln21xxxfx，21210xx，解得12x或12x，则其定义域为12xx或12x，关于原点对称.121212121lnlnlnln21212121fxxxxxxxxxfxxxxx，故此时fx为偶函数.故选：B.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数221fxxaxa为奇函数，则fa的值是（）A．0B．12C．12D．10【答案】D【解析】因为函数221fxxaxa为奇函数，所以00f，即210aa，即2a或1a，显然函数221fxxaxa的定义域为R关于原点对称，且当2a时，有21fxxx，从而有21fxxxfx，当1a时，有21fxxx，但1210ff，所以2a，即21fxxx，所以2222110faf.故选：D.3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的函数是（）A．lnfxxxB．2ln1fxxxC．eexxfxD．eexxfx【答案】C【解析】对于A，因为lnfxxx的定义域为0,不关于原点对称，所以lnfxxx不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为22R,10xxxxxxx，所以2ln1fxxx的定义域为R关于原点对称，但22ln1ln1ln10fxfxxxxx，所以2ln1fxxx是奇函数不是偶函数，故B选项不符合题意；对于C，因为eexxfx的定义域为R关于原点对称，且eeeexxxxfxxf，所以eexxfx是偶函数，又eexxfx，注意到当0,x时，有0=eee1xx，所以此时e0exxfx，所以eexxfx在0,上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为eexxfx的定义域为R关于原点对称，但eeeexxxxfxfx，所以eexxfx是奇函数不是偶函数，故D选项不符合题意.故选：C.考法三解不等式【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数12lnfxxxx，则不等式311fxfx的解集为（）A．10,2B．11,32C．1,12D．1,2【答案】C【解析】由题意可知，函数12lnfxxxx的定义域为0,.又因为22211110fxxxx恒成立，所以fx在0,上单调递减.则由311fxfx可得310?      10?        311xxxx，解得112x，即原不等式的解集为1,12.故选：C.【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数11sin1ee4xxfxxx则满足()(32)6fxfx的x的取值范围是（）A．3,B．1,C．,3D．,1【答案】B【解析】假设sinee,Rxxgxxxx，所以sineexxgxxx，所以0gxgx，所以gx为奇函数，而1111sin1ee4sin1ee1313xxxxfxxxxxgx，则其图象是gx的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，所以fx的对称中心为1,3，所以26fxfx，因为sinee,Rxxgxxxx，所以cosee1xxgxx，易得ee2ee2xxxx，当且仅当0x时等号成立，而1cos1x，则2cos10x，所以cosee10xxgxx恒成立，即gx在R上单调递增，所以fx在R上单调递增，因为3262fxfxfxfx得322fxfx，所以322xx，解得1x.故选：B.【变式】1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在0,上的函数fx满足：对12,0,xx，且12xx都有12121fxfxxx，则不等式2222loglogfxfxxx的解集为（）A．1,2B．2,4C．4,8D．8,16【答案】B【解析】根据题意：当12xx时，1212121122121fxfxfxfxxxfxxfxxxx，当12xx时,1212121122121fxfxfxfxxxfxxfxxxx可得函数hxfxx在0,单调递增.则22222222loglogloglogfxfxxxfxxfxx222222logloglog22xxxxxx，在同一坐标系中画出2yx=与2xy图象.得24x，则不等式的解